Wilson定理推论

最新推荐文章于 2024-11-13 12:44:16 发布

Gosick_Geass_Gate

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Wilson定理: 设 $p$ 是一个素数，则

$(p−1)!≡−1(mod p).(p-1)!\equiv-1(mod\;p).$

此定理的证明一般不难找到，此处不作赘述。下面介绍一下相关的推论以及证明（选自《信息安全数学基础（第二版）第2章习题》）

推论1: 如果 $p$ 是奇素数，那么

$12⋅32⋅ ⋯ ⋅(p−4)2⋅(p−2)2≡(−1)p+12(mod p)1^2\cdot3^2\cdot\,\cdots\,\cdot(p-4)^2\cdot(p-2)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}(mod\;p)$

$证明：$
$(p−1)!=1⋅2⋅3⋅4⋅ ⋯ ⋅(p−4)(p−3)(p−2)(p−1)=1⋅[p−(p−2)]⋅3⋅[p−(p−4)]⋅ ⋯ ⋅(p−4)(p−3)(p−2)(p−1)=1⋅(p−1)⋅3⋅(p−3)⋅ ⋯ ⋅(p−4)[p−(p−4)][p−(p−2)]≡12⋅32⋅ ⋯ ⋅(p−4)2(p−2)2(−1)p−12(mod p) （p为奇数）\begin{aligned} (p-1)!&=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\,\cdots\,\cdot(p-4)(p-3)(p-2)(p-1)\\ &=1\cdot[p-(p-2)]\cdot3\cdot[p-(p-4)]\cdot\,\cdots\,\cdot(p-4)(p-3)(p-2)(p-1)\\ &=1\cdot(p-1)\cdot3\cdot(p-3)\cdot\,\cdots\,\cdot(p-4)[p-(p-4)][p-(p-2)]\\ &\equiv1^2\cdot3^2\cdot\,\cdots\,\cdot(p-4)^2(p-2)^2(-1)^{\frac{p-1}{2}}(mod\;p)\;（p为奇数） \end{aligned}$
$由Wilson定理可知，若p为素数，则(p−1)!≡−1(mod p).由Wilson定理可知，若p为素数，则(p-1)!\equiv-1(mod\;p).$
$所以$
$12⋅32⋅ ⋯ ⋅(p−4)2(p−2)2(−1)p−12≡−1(mod p)⇒12⋅32⋅ ⋯ ⋅(p−4)2(p−2)2(−1)p−1≡(−1)p+12(mod p)⇒12⋅32⋅ ⋯ ⋅(p−4)2(p−2)2≡(−1)p+12(mod p)\begin{aligned} &\quad\ \ 1^2\cdot3^2\cdot\,\cdots\,\cdot(p-4)^2(p-2)^2(-1)^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1(mod\;p)\\ &\Rightarrow1^2\cdot3^2\cdot\,\cdots\,\cdot(p-4)^2(p-2)^2(-1)^{p-1}\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}(mod\;p)\\ &\Rightarrow1^2\cdot3^2\cdot\,\cdots\,\cdot(p-4)^2(p-2)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}(mod\;p)\\ \end{aligned}$

推论2: 如果 $p$ 是素数，并且 $p≡3(mod 4)p\equiv3(mod\;4)$ ，那么

$(p−12)!≡±1(mod p).(\frac{p-1}{2})!\equiv\pm1(mod\;p).$

$证明：$
$因为p≡3(mod 4)，所以p=4m+3（m∈Z）因为p\equiv3(mod\;4)，所以p=4m+3（m\in \mathbb{Z}）$
$(4m+2)!=1⋅2⋅ ⋯ ⋅(2m+1)(2m+2)⋅ ⋯ ⋅(4m+1)(4m+2)=1⋅2⋅ ⋯ ⋅(2m+1)[p−(2m+1)]⋅ ⋯ ⋅(p−2)(p−1)=[(2m+1)!]2(−1)2m+1.\begin{aligned} (4m+2)!&=1\cdot2\cdot\,\cdots\,\cdot(2m+1)(2m+2)\cdot\,\cdots\,\cdot(4m+1)(4m+2)\\ &=1\cdot2\cdot\,\cdots\,\cdot(2m+1)[p-(2m+1)]\cdot\,\cdots\,\cdot(p-2)(p-1)\\ &=[(2m+1)!]^2(-1)^{2m+1}.\\ \end{aligned}$
$由Wilson定理可知，若p为素数，则(p−1)!≡−1(mod p).由Wilson定理可知，若p为素数，则(p-1)!\equiv-1(mod\;p).$
$所以$
$[(2m+1)!]2(−1)2m+1≡−1(mod p)⇒[(2m+1)!]2(−1)2(2m+1)≡(−1)2m+2(mod p)⇒[(2m+1)!]2≡1(mod p)⇒[(2m+1)!]2−1≡0(mod p)⇒[(2m+1)!+1][(2m+1)!−1]≡0(mod p)\begin{aligned} &\quad\ \ [(2m+1)!]^2(-1)^{2m+1}\equiv-1(mod\;p)\\ &\Rightarrow[(2m+1)!]^2(-1)^{2(2m+1)}\equiv(-1)^{2m+2}(mod\;p)\\ &\Rightarrow[(2m+1)!]^2\equiv1(mod\;p)\\ &\Rightarrow[(2m+1)!]^2-1\equiv0(mod\;p)\\ &\Rightarrow[(2m+1)!+1][(2m+1)!-1]\equiv0(mod\;p) \end{aligned}$
$因为 p 为素数，因为\,p\,为素数，$
$所以必有(2m+1)!+1≡0(mod p)或(2m+1)!−1≡0(mod p)所以必有(2m+1)!+1\equiv0(mod\;p)或(2m+1)!-1\equiv0(mod\;p)$
$即(2m+1)!≡±1(mod p)⇒(p−12)!≡±1(mod p).即(2m+1)!\equiv\pm1(mod\;p)\Rightarrow(\frac{p-1}{2})!\equiv\pm1(mod\;p).$

推论3：如果 $p$ 是素数，并且 $0 < k < p$ ，那么

$(p−k)!(k−1)!≡(−1)k(mod p).(p-k)!(k-1)!\equiv(-1)^k(mod\;p).$

$证明：$
$(p−1)!=1⋅2⋅ ⋯ ⋅(p−k)(p−k+1)⋅ ⋯ ⋅(p−2)(p−1)=1⋅2⋅ ⋯ ⋅(p−k)[p−(k−1)]⋅ ⋯ ⋅(p−2)(p−1)=(p−k)!(k−1)!(−1)k−1（0<k<p）\begin{aligned} (p-1)!&=1\cdot2\cdot\,\cdots\,\cdot(p-k)(p-k+1)\cdot\,\cdots\,\cdot(p-2)(p-1)\\ &=1\cdot2\cdot\,\cdots\,\cdot(p-k)[p-(k-1)]\cdot\,\cdots\,\cdot(p-2)(p-1)\\ &=(p-k)!(k-1)!(-1)^{k-1}（0<k<p） \end{aligned}$
$由Wilson定理可知，若p为素数，则(p−1)!≡−1(mod p).由Wilson定理可知，若p为素数，则(p-1)!\equiv-1(mod\;p).$
$所以$
$(p−k)!(k−1)!(−1)k−1≡−1(mod p)⇒(p−k)!(k−1)!(−1)2(k−1)≡(−1)k(mod p)⇒(p−k)!(k−1)!≡(−1)k(mod p)\begin{aligned} &\quad\ \ (p-k)!(k-1)!(-1)^{k-1}\equiv-1(mod\;p)\\ &\Rightarrow(p-k)!(k-1)!(-1)^{2(k-1)}\equiv(-1)^k(mod\;p)\\ &\Rightarrow(p-k)!(k-1)!\equiv(-1)^k(mod\;p)\\ \end{aligned}$

参考文献
[1] 殷堰工，Wilson定理的若干探讨，苏州教育学院学报，第17卷第3期，2000年9月。
[2] 叶寿坤，威尔逊定理的两个推论及应用，龙岩师专学报，第11卷第3期，1993年8月。