递归最小二乘法RLS

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分类专栏： 机器学习 优化 文章标签： 最小二乘法 算法 机器学习
于 2023-10-16 10:04:38 首次发布
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递归最小二乘法
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基础原理 最小二乘法，也称最小平方法，即计算误差平方和最小，得到的最佳估计。 **核心问题：最小二乘法的估计的合理性证明是什么？**数学王子高斯（1777－1855）也像我们一样心存怀疑。高斯随后通过概率论的理论证明了最小二乘法的合理性。 理论公式 最简单的观测与估计： 误差的平方和：Sϵ2=∑(y−yi)2 \text{误差的平方和：}S_{\epsilon ^2}=\sum{\left( y-y_i \right) ^2} 误差的平方和：Sϵ2​=∑(y−yi​)2 法国数学家勒让德表示：总误差平方和
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递归最小二乘（Recursive Least Squares, RLS）算法是一种自适应滤波算法，广泛应用于信号处理、控制理论和通信工程等领域。RLS算法的主要特点是能够在实时或在线处理中，通过递归的方式不断更新滤波器的参数，以最小化预测误差的平方和。与批量处理的最小二乘算法相比，RLS算法能够更快地适应信号的变化，因此在动态环境中具有显著优势。
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### 递归最小二乘法（RLS）算法原理及实现 #### 算法概述 递归最小二乘法（Recursive Least Squares, RLS）是一种用于在线估计动态系统参数的方法。该方法的核心在于通过不断更新当前时刻的参数估计值来逼近真实的系统参数，从而减少计算复杂度并提高效率[^2]。 RLS 的基本思想是通过对误差平方和进行最小化，在线调整参数估计值。相比于批量处理所有数据的传统最小二乘法，RLS 能够逐次递归地更新估计值，无需重新计算整个历史数据集上的解，因此非常适合于实时应用场合[^3]。 --- #### 数学模型与核心公式 设系统的输入输出关系可以用如下形式表示： \[ y_k = \phi_k^\top \theta + v_k \] 其中： - \( y_k \) 是第 \( k \) 步的观测值； - \( \phi_k \) 是已知的回归向量； - \( \theta \) 是待估参数向量； - \( v_k \) 表示测量噪声。 目标是最小化以下代价函数： \[ J(\theta) = \sum_{i=1}^{k} w_i(y_i - \phi_i^\top \theta)^2 \] 其中 \( w_i \) 是权重因子，通常采用指数衰减的形式定义为 \( w_i = \lambda^{k-i} \)，\( \lambda \in (0,1] \) 称为遗忘因子。 通过引入增益矩阵 \( K_k \) 和协方差矩阵 \( P_k \)，RLS 参数更新公式可以写成： \[ K_k = P_{k-1}\phi_k / (\lambda + \phi_k^\top P_{k-1}\phi_k) \] \[ \hat{\theta}_k = \hat{\theta}_{k-1} + K_k(e_k) \] \[ P_k = (I - K_k\phi_k^\top)P_{k-1}/\lambda \] 其中： - \( e_k = y_k - \phi_k^\top \hat{\theta}_{k-1} \) 是预测残差； - \( \hat{\theta}_k \) 是第 \( k \) 步的参数估计值； - \( P_k \) 是协方差矩阵，反映了估计值的不确定性程度[^4]。 --- #### MATLAB 实现代码 以下是基于上述公式的简单一维 RLS 实现代码示例： ```matlab % 一维RLS实现 clear; clc; % 假设系统模型：y = 5 * h N = 100; % 数据长度 h = randn(1,N); % 随机生成状态量 theta_true = 5; % 真实参数 v = 0.1 * randn(1,N); % 测量噪声 y = theta_true * h + v; % 观测值 % 初始化变量 theta_hat = 0; % 初始参数估计 P = 1e6; % 协方差初始化 result = zeros(1,N); lambda = 0.98; % 遗忘因子 for k = 1:N phi = h(k); % 当前时刻的状态量 r = lambda + phi^2 * P; K = P * phi / r; % 计算增益 % 更新参数估计 e = y(k) - phi * theta_hat; % 残差 theta_hat = theta_hat + K * e; % 更新协方差矩阵 P = (P - K * phi * P) / lambda; result(k) = theta_hat; % 存储每一步的结果 end % 绘图显示结果 figure; plot(1:N, result, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on; plot([1 N], [theta_true theta_true], 'r--', 'LineWidth', 1.5); xlabel('时间步数'); ylabel('参数估计值'); legend('估计值', '真实值'); title('递归最小二乘法参数估计过程'); grid on; ``` 此代码模拟了一个简单的单参数系统，并展示了如何逐步接近真实参数的过程。 --- #### 性能特点 1. **快速收敛**：由于每次迭代都利用最新的观测数据更新参数估计值，RLS 方法能够在较短时间内达到稳定。 2. **低内存需求**：相比传统最小二乘法需要保存全部历史数据，RLS 只需维护少量中间变量即可完成计算。 3. **灵活性强**：通过调节遗忘因子 \( \lambda \)，可以在跟踪变化参数和抑制噪声之间取得平衡。 然而需要注意的是，当系统存在显著非平稳特性或者噪声水平较高时，可能需要进一步改进算法性能，例如引入可变指数遗忘机制（VEX-RLS），以增强自适应能力[^1]。 ---
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