傅里叶变换的推导

傅里叶变换 编辑

一种积分变换 ，它来源于函数的 傅里叶积分 表示。积分

 　　　(1)

称为 ƒ  的傅里叶积分。周期函数在一定条件下可以展成傅里叶级数，而在(－∞,∞)上定义的非周期函数 ƒ，显然不能用三角级数来表示。但是J.-B.-J.傅里叶建议把ƒ 表示成所谓傅里叶积分的方法。设 ƒ ( x )是(- l , l )上定义的 可积函数 ，那么在一定条件下， ƒ ( x )可以用如下的傅里叶级数来表示：

(x∈(-Л, Л)), 　　　(2)

式中

。 (3)

把(3)代入(2)，即有

式中 u _n ＝ nπ / l  ( n =1,2,…)； 。当 l→∞时，上式第一项趋于0，级数换成积分，因此形式上就成为

。 (4)

这就是傅里叶积分的直观推导。记号～表示右方的积分是从  ƒ 得来的，它并不意味着右方积分收敛，即使收敛，也未必等于 ƒ ( x )。 

2.傅里叶积分的收敛判别法 　

类似于傅里叶级数，相应的收敛判别法也有多种。为了简单起见,假定ƒ是连续的。　　

① 迪尼判别法　假如对于某个h>0，积分

，

那么 ƒ 的傅里叶积分(1)在点 x 收敛于 ƒ ( x )。 
　　② 狄利克雷- 若尔当 判别法 如果函数 ƒ 在含有点 x 的某区间,例如( x - h , xh )上分段单调,则 ƒ  的傅里叶积分在点 x 收敛于 ƒ ( x )。　 

3.傅里叶积分的复数形式  

傅里叶积分(1)中的内层积分是u的偶函数，所以(4)式可以形式地写成

。 (5)

另一方面，积分 是 u 的奇函数,所以形式上，积分　

， (6)

合并(5)与(6)，利用公式e ^iθ  =cos θ ＋isin θ ，即得

　 (7)

最后的积分称为 ƒ 的傅里叶积分的复数形式。　 

4.傅里叶变换与傅里叶逆变换 　

(7)中内层积分

       ，　 　　 (8)------公式（u是频率，可以认为是原时域f(x)的“象”，原时域f(x)为“原象”，这也就进行了转换）

称为ƒ 的傅里叶变换,记为弮( u )。在一些书中，积分前面的因子 用 代替，相应地,下面的逆变换积分前面应添加因子 。以上都假定了函数 ƒ ∈ l ¹  (-∞,∞)，所以(8)中的积分是存在的。进一步可以证明， ƒ 的傅里叶变换弮( u )是 u 的连续函数;当 u →±∞时,弮( u )→0；此外，若弮( u ∈ l ¹  (-∞,∞)，则几乎处处成立下面的逆转关系：

      。 　　　 　(9)----公式

上式称为弮(u )的傅里叶逆变换。例如 的傅里叶变换弮( u )等于 ;而弮( u )的傅里叶逆变换是 。