博弈论总结

博弈题先找奇异局势（必输局势）

一、巴什博弈 bash游戏

1. 有n个石头，Alice和Bob轮流取石头，每次取的石头不能超过m个，Alice开始取，最后取完的赢，两个人都是以最优的方案取，求最终赢的是谁？
   分析: n % (m+1) == 0 时，先手必输，否则必赢。
   对于每个m+1循环节，每次先手取完后，后手将剩下的取完。
2. 变形：每次取（1， 3， 4）个 ？51nod1067
   打表找奇异局势，发现以+2 +5 +2 +5递增
3. 变形：每次取2的整数次幂（1， 2， 4， 8 …)? 51nod 1068
   打表找奇异局势，发现为3的倍数
4. 结论，奇异局势是关键

二、威佐夫博弈

1. 有两堆石头，Alice和Bob轮流从某一堆取任意多的石头，或者从两堆中取相同多的石头，每次至少取一个石头， Alice开始取，最后取完的赢，两个人都是以最优的方案取，求最终赢的是谁？
   分析：奇异局势：面临的状态必输。(0,0)是一个奇异局势，面临这种状态必输。
   奇异局势的三条性质：

   • 任何一个自然数都包含在一个奇异局势里；

   • 任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势；

   • 采用适当的方法可以将非奇异局势变为奇异局势。

   前几个奇异局势有(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20) …
   
   对于非奇异局势总可以变成奇异局势经过一系列操作
   
   

三、尼姆博弈(nim游戏）