0-1背包问题

题目描述：有n件物品和一个容量为v的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值和最大。

算法分析：

动态规划的题目一直是比较有难度，这种题目炸看往往连个思路都没有，往往需要数组记录信息来降低复杂度。解题的关键是找出状态转移方程。

假设f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包所能取得的最大值。如果我们选取第i件物品，f[i][v]=f[i-1][v-c[i]]+w[i]；如果不选取第i件物品，f[i][v]=f[i-1][v]。状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+p[i]}。

代码如下：

int c[10][100];
int knapsack(int m,int n)
{
    int i,j,w[10],p[10];
    for(i=1;i<n+1;i++)
    scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);
    for(i=0;i<10;i++)
    for(j=0;j<100;j++)
    c[i][j]=0;
    for(i=1;i<n+1;i++)
    for(j=1;j<m+1;j++)
    {
        if(w[i]<=j){
             if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
                 c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]]; 
             else
                 c[i][j]=c[i-1][j];
        }else 
             c[i][j]=c[i-1][j];
     }
     return(c[n][m]);
}

这里一定要将w[i]和j进行比较，然后分类处理，我看到网上有一种错误的做法是for(j=w[i];...)开始循环，这样求得的c[i][j]是不正确的。因为f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+p[i]}，即f[i][v]是俩种情况的最大值，当j<w[i]时，那种错误算法没有计算（仍旧是初始值0），而正确的做法是取f[i-1][v]。待会我会用俩张图片展示。理解此题的一个方法是自己画图。

下图正确的算法得到的：

下图是错误算法得到的：

由于错误算法c[i][j]的j从w[i]开始算法，所以j<w[i]时取零，这个地方会出错，据此我找到一中对应这种情况的测试用例。我们以f[3][6]举例。f[3][6]=max{f[2][6],f[2][6-5]+6}=max{7,0+6}=7。因为算法没有正确计算f[2][1]所以得到错误解

参考：

http://wenku.baidu.com/link?url=Un8HHHK091HRNcNb9MnrEwWfx1VhcZurBkIPC0k3hdfwHglCUX6H8etGqMFccEbW0aKP5UXH9W3hX4Bt016pDU1jzHxeuYrf0NSc2j-aUGe

:http://gengning938.blog.163.com/blog/static/128225381201141210513634/