高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（2）函数单调性 极值 最大值 最小值

§3.4  函数的单调性

一、从几何图形上看函数的单调性

运行matlab程序gs0303.m，可得到函数与它的导函数在上的图象，从图形上可以观察到：

函数在上是单调减少，在上是单调增加；

其导函数在上小于零，在上大于零。

函数的单调性是否与导函数的符号有关呢?为此，我们进一步地作图，希望从中获得更多的感性认识。

函数在上单调增加(减少)，则它的图形是一条沿轴正向上升(下降)的曲线， 曲线上各点处的切线之斜率均为正的(负的)，即：

  ()

这表明：函数的单调性确实与其导数的符号有关，因此，可以利用导数的符号来判定函数的单调性。

二、函数单调性的判别法

设函数在上连续， 在上可导，，则

若在内，则，从而 ；

即：   函数在上单调增加；

若在内，则，从而 ，

即：   函数在上单调减少。

综上讨论， 我们有如下结论：

【函数单调性判别法】

设函数在上连续， 在上可导，

(1)、若在内， 则在上单调增加；

(2)、若在内， 则在上单调减少。

注明：

1、判别法中的闭区间若换成其它各种区间（包括无穷区间），结论仍成立。

2、以后把函数单调的区间称之为函数的单调区间。

【例1】讨论函数的单调性。

 解：函数的定义域为， 且

当时， ， 故函数在上单调减少；

当时， ， 故函数在上单调增加。

【例2】讨论函数的单调性。

解： 函数的定义域为，

当时， ， ，  故函数在上单减；

当时，   ，  ，  故函数在上单增。

因此，可以通过求函数的一阶导数其符号不确定的点，将函数的定义域分划成若干个部分区间，再判定函数一阶导数在这些部分区间上的符号，继而可决定函数在这些部分区间上的单调性。

【例3】试确定函数  的单调区间。

解： 当时，函数无定义， 故函数在处不可导；

当时， 导函数为 

令 得： 

于是， 点将函数定义域(  )分划成四个区间 、、、，函数在这四个区间上的单调性如下：

在上， ，   函数单增；

在   上， ，  函数单减；

在     上， ，  函数单减；

在  上，  ，  函数单增。

【例4】讨论函数的单调性。

【结论】

一般地，如果在某区间上的有限个点处为零， 而在其余各点处均为正(或负)时，那么在该区间上仍是单调增加(或单调减少)的。

利用函数的单调性可以证明较为复杂的函数不等式。

【例5】试证明：当时， 有 

解：作辅助函数 ，

，

，

当时，   ，  ，

故  ，

在上单调增加，从而有 ，

而 ，

于是 ，在上也单调增加。

从而有 ，

即     。

该证明方法十分典型，对于一些较精细的函数不等式的证明可借助些法。

§3.5  函数的极值及其求法

一、极值的定义

设函数在区间内有定义，点是内的一点。若存在点的一个邻域，对于该邻域内任何异于的点，不等式

   ()

成立，称是函数的一个极大值(极小值)；称点是函数 的极大值点(极小值点)。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值；

使函数取得极值的点统称为极值点。

关于函数的极值，如下几点注记是十分重要的。

1、函数的极值概念是一个局部概念。

如果是函数的一个极大值，那只是对的一个局部范围来说是的一个最大值。但对于整个函数的定义域来说，就不一定是最大值了。

对于极小值也是类似的。

2、极小值有可能较极大值更大。

如图： ( 是极大值， 而是极小值 )

从图中可看出，在函数取得极值之处，曲线具有水平的切线。换句话说：函数在取得极值的点处，其导数值为零。

二、函数取得极值的几个重要定理

【定理一】(可导函数取得极值的必要条件)

设函数在点处具有导数，且在处取得极值，则。

证明：不妨设是极大值 (极小值的情形也可类似地证明)

据极大值定义， 在的某个邻域内， 对一切异于的点，

均有          成立。

当时，，

因此 ；

当时，，

因此 ，

从而   。

使导数为零的点(即方程的实根)称为函数的驻点。

定理一的结论可换成等价的说法：

可导函数的极值点必定是为驻点。

反过来，函数的驻点不一定就是函数的极值点,它最多只是可能的极值点。

【定理二】( 函数取得极值的第一充分条件 )

设函数在点的某个邻域内可导，且

(1)、当取左侧的值时，恒为正；当取右侧的值时，恒为负，那么，在处取得极大值；

(2)、当取左侧的值时，恒为负；当取右侧的值时，恒为正，那么，在处取得极小值；

(3)、当取左右两侧的值时，恒正或恒负，那么，在处没有极值。

下面，我们给出第一充分条件的记忆方法：

一般 + 号往往表示得分，盈利等吉利的事情，蕴含有增加的意思，我们可解释 + 号表示走好运，走上坡路。

而 - 号又往往表示扣分、亏损等不吉利的事情，它含有减少的意思，我们可解释 - 号为走背运，走下坡路。

当在附近由左变到右时，符号由正变到负()，则曲线是先走上坡路，再走下坡路，呈  型，故是极大值；

当在附近由左变到右时，符号由负变到正()，则曲线是先走下坡路，再走上坡路，呈  型，故是极小值。

【例1】求函数的极值。

解：函数的定义域为，且

，

令 ， 可得到函数的可能极值点(驻点)：。

当 时，  ，

当    时，  ，

故 是函数的极大值点，且函数的极大值为

。

当  时，，

故  是函数的极小值点，且函数的极小值为

。

【定理三】(函数取得极值的第二充分条件)

设函数在点处具有二阶导数， 且、，  则

(1)、当时， 函数在处取得极大值；

(2)、当时， 函数在处取得极小值。

下面对情形(1)给出证明， 情形(2)的证明完全类似。

由于  ，有

据函数极限的性质， 当在的一个充分小的邻域内且时，

而  ，即

于是，对于这邻域内不同于的来说， 与的符号相反，

即：当， 时，  ，

当， 时，  ，

据定理二知：在点处取极大值。

对极值判定的第二充分条件来说，如下注记是重要的。

1、对于二阶可导的函数，它在驻点的二阶导数的符号可判定函数值为何种极值。

如果，则第二充分条件失效。请看下述反例：

这三个函数在原点处的一阶、二阶导数均为零，它们分别有极小值、极大值，无极值。

2、极值判定的第二充分条件的记忆方法

【例2】求函数的极值。

解：，

令， 得驻点       

，

， 函数有极小值 

而 ， 用第二充分条件无法进行判定， 考察函数的一阶导数在的左右两侧邻近值的符号。

当取的左右侧邻近的值时，；

当取 1 的左右侧邻近的值时，，

故函数在处没有极值。

三、函数在不可导点处的极值判定

前面的讨论中， 都假定了函数在所讨论的区间内是可导的这一条件。如果函数在某些点处的导数不存在， 函数在这些点处有可能取得极值吗?

换句话说，使函数不可导的点，是可疑的极值点吗?

【例4】讨论函数的极值。

这两例所反映的事实说明：

函数的不可导点，也是函数可疑的极值点，在讨论函数的极值时，应予以考虑。

六、结论

求函数在定义区间上的极值，先找出函数在该区间上的可疑极值点(使函数的一阶导数为零或不存在的点)，再运用极值判定的第一或第二充分条件，对这些可疑极值点是否确实为极值点进行判定。

§3.6  最小值与最大值问题

一、闭区间上连续函数的最值

综上讨论，函数取得最值的点只能是区间的端点或开区间内导数为零、导数不存在的点。计算函数在这些点处的函数值，比较它们的大小就可得到函数的最值。

【例1】求函数在上的最值。

二、非闭区间上定义的函数最值

对于非闭区间上定义的函数，它有可能存在着最值，也有可能不存在着最值，这就给求函数最值带来了困难。

探讨函数最值，可先求函数的可疑极值点(驻点，导数不存在的点)，并讨论由这些点所形成的区间上函数的单调性，再利用函数的性态来判断函数在这些可疑点处是否有最值。

下面以例子来说明具体求法。

【例2】求函数 在定义区间 上的最值。

【例3】求函数在 的最值。

三、实用最值应用问题

利用求函数的最值来处理实际问题，有如下几个步骤：

1、据实际问题列出函数表达式及它的定义区间；

2、求出该函数在定义区间上的可能极值点(驻点和一阶导数不存在的点)；

3、讨论函数的单调性，确定函数在可能极值点处是否取得最值。

【例4】试求单位球的内接圆锥体体积最大者的高，并求此体积的最大值。

解：设球心到锥底面的垂线长为，则圆锥的高为，圆锥面底面半径为，圆锥体积为

由 ,得驻点，

在上，，函数单增；

在上，，函数单减，

故是函数的最大值点，是函数的最大值。

于是最大的体积为，此时的高为。

from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/