概率统计：第二章 随机变量及其分布

第二章 随机变量及其分布

内容提要：

一、        随机变量的定义

设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。

二、        分布函数的概念和性质

1．分布函数的定义

设是随机变量，称定义在上的实值函数

为随机变量的分布函数。

2．分布函数的性质

(1) ，

（2）单调不减性：，

（3）

（4）右连续性：。

注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。

 （5）

     

      

 注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。

三、        离散型随机变量

  1．离散型随机变量的定义

 若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。

 2．离散型随机变量的分布律

（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为

 

或用表格表示：

 

	x1      x2      …    xn    …
pk	P1    p2    …    pn    …

或记为

       ~ 

  

（2）性质：， 

    注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。

      其中。

注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。

  3．离散型随机变量的分布函数

   =， 它是右连续的阶梯状函数。

4．常见的离散型分布

     （1） 两点分布（0—1分布）：其分布律为

        

即

     

	0         1
p	1–p       p

 

  （2）二项分布

  （ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。

  （ⅱ）二项分布的定义

     设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为

   ，  ，

称随机变量服从参数为的二项分布，记作。

注：即为两点分布。

（3）泊松分布：若随机变量的分布律为

   ，     ，

则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。

四、        连续性随机变量

   1．连续性随机变量的定义

   若对于随机变量，存在定义在上的非负函数，使得对任意的实数，总有 则称于随机变量是连续性随机变量，其中称为的概率密度函数，简称概率密度，为明确起见，有时写为。

2．概率密度函数的性质

  （1）

注：该性质是是某一连续型随机变量的概率密度的充要条件。

   （2）对连续性随机变量，一定是连续的，但是未必连续，在的连续点处，有，

  （3）对任意的实数 从而对任意实数，有

 。

   注：常用概率密度描述连续型随机变量的统计规律。

4．常见的连续型分布

   （1）均匀分布

   设表示几何概型中的落点坐标，则其分布函数为

，

其概率密度为

，

称服从区间上的均匀分布，记为。

   （2）指数分布

    若随机变量的概率密度为

    ，

称服从参数为的指数分布，其分布函数是

     。

   （3）正态分布

   （ⅰ）标准正态分布：若随机变量的概率密度为

        ，，

则称服从标准正态分布，记为，其分布函数为

，

 （ⅱ）一般正态分布：若随机变量的概率密度为

        ，，

则称服从参数为的正态分布，记为，其分布函数为

，

（ⅲ）正态分布的性质：

   满足对称性，即，；

   若，则，即，从而有；

注：由上述性质，可将正态分布的计算转换为标准正态分布的计算，而对于标准正态分布的分布函数值，当时有表可查，根据对称性，当时，可根据算出的值。

 若，则

（ⅳ）标准正态分布的上分位点：设，对于任给的，，称满足的点为标准正态分布的上分位点。

五、        随机变量的函数分布

  1．离散型随机变量的函数分布

设是离散型随机变量，其分布律为，又

为连续函数），则的分布律为

    情形一：对所有的全不相同时，的分布律为

情形二：若知某个，时，则有

     ，

一般的，的分布律为

              ，

2．连续型随机变量的函数分布

设是连续型随机变量，其概率密度为，又，则的概率密度为

    情形一：如果函数处处可导且，则也是连续型随机变量，其概率密度为

其中=是的反函数。

情形二：如果函数非严格单调，则可分两步求的概率密度：

第一步，求的分布函数，

第二步，对求导数。

六、        几个注记

1．若分布函数中有待定的常数，则该常数的确定是利用的性质：或。

   2．若概率密度函数（分布律）中有待定的常数，则该常数的确定是利用（分布律）的性质：（；

    3．若是连续型随机变量，对任意的实数 ；

    4．离散型随机变量的分布律中两要素缺一不可，即的所有可能的取值以及取每个值时的概率值，离散型随机变量的分布函数是右连续、阶梯状的分段函数；

5．若是连续型随机变量，根据 互求即可。

 

基本要求

1．熟练掌握随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念，理解分布函数、分布律和概率密度函数的性质；

2．会利用随机变量描述事件，会求随机变量的分布函数，分布律和概率密度函数，会求随机变量函数的分布；

3．熟练掌握六种常用的分布；

4．已知分布函数，会求分布律或概率密度函数，已知分布律或概率密度函数，会求分布函数。

重点内容

随机变量的概念，分布函数、分布律和概率密度函数的概念和性质，分布函数和概率密度函数的计算，随机变量函数的分布。

典型例题分析

例1 设一个盒子中有标号为1，2，3，4，5的5个球，从中等可能的任取3个，用表示取出球的最大号码，求随机变量的分布律及分布函数。

分析：本题中，的所有可能的取值为3，4，5，而取每个值（事件）时的概率是古典概型的概率，然后根据分布律及分布函数的关系求出分布函数。

解：的所有可能的取值为3，4，5，

当时，即取出号码为（1，2，3），，

当时，即取出号码为（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4），，

当时，即取出号码为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），，

故分布律为

X	3      4      5
pk	1/10   3/10    3/5

 

由公式可得分布函数为

     

例2 一批零件中有9个正品3个次品，从中任取一个，如果取出次品不再放回，求在取出正品前已取出的次品数的分布律。

分析：本题中，的所有可能的取值为0，1，2，3，而取每个值（事件）时的概率是古典概型的概率。

解：的所有可能的取值为0，1，2，3，设表示第次取出的是正品，则由乘法公式得的分布律为

 

同理

例3 一个靶子是半径为两米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以表示弹着点与圆心的距离，求的分布函数。

   分析：根据分布函数的定义求。

  解：设的分布函数为，若，则是不可能事件，此时，；

  若 由题意，，为确定常数，取，则有，而，所以，从而

；

若，则是必然事件，于是；

综上所述，

     

例4 设随机变量的分布函数为

 

试确定常数，并求。

分析：根据前面的注记，应用的右连续性可求出常数，然后应用的性质中对随机变量的统计规律的描述求概率。

解：由分布函数的右连续性得，由概率与分布函数的关系得

注：从本例可以看出，分布函数既非连续又非阶梯状，从而说明，存在既非离散又非连续的随机变量。

例5 设随机变量的分布函数为，，求

（1）系数，（2）落在内的概率，（3）的概率密度。

分析：根据的性质及和概率密度函数之间的关系求解。

解：（1）由于，可知

，解之得，

于是，。

（2）

=

 （3） ，

例6 设随机变量的概率密度，求

（1）系数， （2）   （3）求的分布函数。

    分析：根据的性质及分布函数和概率密度函数之间的关系求解。

解：（1）由于，得，即，

（2），

（3）

  当时，，

           当时，+，

所以的分布函数   。

例7 设电视机的寿命（以年记），具有以下的概率密度函数

    

求（1）电视机的寿命最多为6年的概率，

  （2）寿命最在5到10年之间的概率，

分析：本题是已知连续性随机变量的概率密度函数求概率，按前面的公式求即可。

解：电视机的寿命记为，则有

      （1）

      （2）

例8 设公共汽车每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在任一时刻到达车站是等可能的，求

（1）乘客候车时间不超过3分钟的概率，

（2）乘客每周等车3次，每次若超过3分钟就离开，用表示该乘客在一周内等到公共汽车的次数，求的分布律，并求。

分析：由题意知，乘客候车时间应服从均匀分布，求乘客候车时间不超过3分钟的概率，就是根据概率密度求概率；又由题意可知，是服从二项分布的随机变量。

解：（1）设表示候车时间，由题意可知服从[0，5]上的均匀分布，概率密度为

  ，

故乘客候车时间不超过3分钟的概率为；

    （2）由题意可得，，从而

          ==。

例9设随机变量，求：

       （1）  （2）

分析：对正态分布的概率计算，要先将其标准化，然后查表计算。

解：

方法一：因为，所以，从而

（1）

（2）

                  =

方法二：设的分布函数为，则，于是

（1）

（2）

= 

例10 设随机变量的分布律为

 

X	0      1      2
pi	0         0.2     0.2

求（1）的值， （2）及的分布律。

分析：这是求离散型随机变量的函数分布，先根据分布律的性质求出

，然后再根据公式求函数分布即可。

解：（1）由于，所以

              （2）的分布律为

 

X2	0     1    4
pi	0.4   0.2  0.4

 的分布律为

  

2X+1	1     3      5
pi	0.2      0     0.4   0.2    0.2

注：在本题中需要注意的是，

例1 1 设随机变量均匀分布），求

（1）随机变量的概率密度函数，

 (2)  随机变量的概率密度函数。

分析：这是求连续型随机变量的函数分布，而且给定的函数非严格单调的，应先求分布函数，然后对分布函数求导数。

解：由条件知随机变量的概率密度为，

（1）的分布函数，显然，当时，，当， 当时，有

=，

所以  

（2）的分布函数，显然，当时，，当时，有

=，

所以  。

例12  如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的泊松分布，已知在一分钟内没有汽车通过的概率为，求在两分钟内多于一辆汽车通过的概率。

分析：从题意可以看出，须先求出参数，然后再根据分布律求概率。

解：用随机变量表示在时间内通过某交叉路口的汽车数，则

  

当时，所以，从而当时，

。

     例13  某电池的寿命的正态分布，求，使得寿命在之间的概率不小于。

分析：将正态分布化为标准正态分布，然后查表计算。

解：=

，即，查表得，，

即。

例14 设，求

（1）的概率密度函数，

（2）的概率密度函数。

分析：本题是连续型随机变量的函数分布，而且给出的函数单调增，所以代入公式计算即可。

解：

（1）的反函数为，所以根据公式

  ，

其中=得

   。

（2）的反函数为，所以有

  = ，

。

 

 

from: http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap2.htm