概率统计:第二章 随机变量及其分布

本文介绍了随机变量的基础概念,包括随机变量的定义、分布函数的概念和性质、离散型与连续型随机变量的特点及其常见分布。并通过多个例题详细解析了如何求解随机变量的分布律、分布函数和概率密度函数。

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第二章 随机变量及其分布

内容提要:

一、        随机变量的定义

是一个随机试验,其样本空间为,若对每一个样本点,都有唯一确定的实数与之对应,则称上的实值函数是一个随机变量(简记为)。

二、        分布函数的概念和性质

1.分布函数的定义

是随机变量,称定义在上的实值函数

为随机变量分布函数

2.分布函数的性质

(1) 

(2)单调不减性:

(3)

(4)右连续性:

注:上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书上,分布函数的定义可能有所不同,例如,其性质也会有所不同。

 (5)

     

      

 注:该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。

三、        离散型随机变量

  1.离散型随机变量的定义

 若随机变量的全部可能的取值至多有可列个,则称随机变量离散型随机变量。

 2.离散型随机变量的分布律

(1)定义:离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值,称为离散型随机变量的分布律,表示为

 

或用表格表示:

 

  x1      x2      …    xn    …

pk

  P   p2    …    pn    …

或记为

       

  

(2)性质:, 

    注:该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。

      其中

注:常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。

  3.离散型随机变量的分布函数

   =, 它是右连续的阶梯状函数。

4.常见的离散型分布

     (1) 两点分布(0—1分布):其分布律为

        

     

 

   0         1

  p

  1–p       p

 

  (2)二项分布

  (ⅰ)二项分布的来源—重伯努利试验:设是一个随机试验,只有两个可能的结果,将独立重复地进行次,则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。

  (ⅱ)二项分布的定义

     设表示在重伯努利试验中事件发生的次数,则随机变量的分布律为

   ,  

称随机变量服从参数为的二项分布,记作

注:即为两点分布。

(3)泊松分布:若随机变量的分布律为

   ,     

则称随机变量服从参数为的泊松分布,记作(或

四、        连续性随机变量

   1.连续性随机变量的定义

   若对于随机变量,存在定义在上的非负函数,使得对任意的实数,总有 则称于随机变量是连续性随机变量,其中称为的概率密度函数,简称概率密度,为明确起见,有时写为

2.概率密度函数的性质

  (1)

注:该性质是是某一连续型随机变量的概率密度的充要条件。

   (2)对连续性随机变量,一定是连续的,但是未必连续,在的连续点处,有

  (3)对任意的实数 从而对任意实数,有

 

   注:常用概率密度描述连续型随机变量的统计规律。

4.常见的连续型分布

   (1)均匀分布

   设表示几何概型中的落点坐标,则其分布函数为

其概率密度为

服从区间上的均匀分布,记为

   (2)指数分布

    若随机变量的概率密度为

    

服从参数为的指数分布,其分布函数是

     。

   (3)正态分布

   (ⅰ)标准正态分布:若随机变量的概率密度为

        

则称服从标准正态分布,记为,其分布函数为

 (ⅱ)一般正态分布:若随机变量的概率密度为

        

则称服从参数为的正态分布,记为,其分布函数为

(ⅲ)正态分布的性质:

   满足对称性,即

   若,则,即,从而有

注:由上述性质,可将正态分布的计算转换为标准正态分布的计算,而对于标准正态分布的分布函数值,当时有表可查,根据对称性,当时,可根据算出的值。

 若,则

(ⅳ)标准正态分布的上分位点:设,对于任给的,称满足的点为标准正态分布的上分位点。

五、        随机变量的函数分布

  1.离散型随机变量的函数分布

是离散型随机变量,其分布律为,又

为连续函数),则的分布律为

    情形一:对所有的全不相同时,的分布律为

情形二:若知某个时,则有

     

一般的,的分布律为

              

2.连续型随机变量的函数分布

是连续型随机变量,其概率密度为,又,则的概率密度为

    情形一:如果函数处处可导且,则也是连续型随机变量,其概率密度为

其中=的反函数。

情形二:如果函数非严格单调,则可分两步求的概率密度:

第一步,求的分布函数

第二步,对求导数。

六、        几个注记

1.若分布函数中有待定的常数,则该常数的确定是利用的性质:

   2.若概率密度函数(分布律)中有待定的常数,则该常数的确定是利用(分布律)的性质:

    3.若是连续型随机变量,对任意的实数 

    4.离散型随机变量的分布律中两要素缺一不可,即的所有可能的取值以及取每个值时的概率值,离散型随机变量的分布函数是右连续、阶梯状的分段函数;

5.若是连续型随机变量,根据 互求即可。

 

基本要求

1.熟练掌握随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念,理解分布函数、分布律和概率密度函数的性质;

2.会利用随机变量描述事件,会求随机变量的分布函数,分布律和概率密度函数,会求随机变量函数的分布;

3.熟练掌握六种常用的分布;

4.已知分布函数,会求分布律或概率密度函数,已知分布律或概率密度函数,会求分布函数。

重点内容

随机变量的概念,分布函数、分布律和概率密度函数的概念和性质,分布函数和概率密度函数的计算,随机变量函数的分布。

典型例题分析

例1 设一个盒子中有标号为1,2,3,4,5的5个球,从中等可能的任取3个,用表示取出球的最大号码,求随机变量的分布律及分布函数。

分析:本题中,的所有可能的取值为3,4,5,而取每个值(事件)时的概率是古典概型的概率,然后根据分布律及分布函数的关系求出分布函数。

解:的所有可能的取值为3,4,5,

时,即取出号码为(1,2,3),

时,即取出号码为(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),

时,即取出号码为(1,2,5),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),

故分布律为

   X

 3      4      5

   pk

 1/10   3/10    3/5

 

由公式可得分布函数为

     

例2 一批零件中有9个正品3个次品,从中任取一个,如果取出次品不再放回,求在取出正品前已取出的次品数的分布律。

分析:本题中,的所有可能的取值为0,1,2,3,而取每个值(事件)时的概率是古典概型的概率。

解:的所有可能的取值为0,1,2,3,设表示第次取出的是正品,则由乘法公式得的分布律为

 

同理

例3 一个靶子是半径为两米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以表示弹着点与圆心的距离,求的分布函数。

   分析:根据分布函数的定义求。

  解:设的分布函数为,若,则是不可能事件,此时,

  若 由题意,,为确定常数,取,则有,而,所以,从而

,则是必然事件,于是

综上所述,

     

例4 设随机变量的分布函数为

 

试确定常数,并求

分析:根据前面的注记,应用的右连续性可求出常数,然后应用的性质中对随机变量的统计规律的描述求概率。

解:由分布函数的右连续性,由概率与分布函数的关系得

注:从本例可以看出,分布函数既非连续又非阶梯状,从而说明,存在既非离散又非连续的随机变量。

例5 设随机变量的分布函数为,求

(1)系数,(2)落在内的概率,(3)的概率密度。

分析:根据的性质及和概率密度函数之间的关系求解。

解:(1)由于,可知

,解之得

于是,

(2)

=

 (3) ,

例6 设随机变量的概率密度,求

(1)系数, (2)   (3)求的分布函数。

    分析:根据的性质及分布函数和概率密度函数之间的关系求解。

解:(1)由于,得,即

(2)

(3)

  当时,

           当时,+

所以的分布函数   。

例7 设电视机的寿命(以年记),具有以下的概率密度函数

    

求(1)电视机的寿命最多为6年的概率,

  (2)寿命最在5到10年之间的概率,

分析:本题是已知连续性随机变量的概率密度函数求概率,按前面的公式求即可。

解:电视机的寿命记为,则有

      (1)

      (2)

例8 设公共汽车每隔5分钟有一辆汽车通过,乘客在任一时刻到达车站是等可能的,求

(1)乘客候车时间不超过3分钟的概率,

(2)乘客每周等车3次,每次若超过3分钟就离开,用表示该乘客在一周内等到公共汽车的次数,求的分布律,并求

分析:由题意知,乘客候车时间应服从均匀分布,求乘客候车时间不超过3分钟的概率,就是根据概率密度求概率;又由题意可知,是服从二项分布的随机变量。

解:(1)设表示候车时间,由题意可知服从[0,5]上的均匀分布,概率密度为

  

故乘客候车时间不超过3分钟的概率为

    (2)由题意可得,,从而

          ==

例9设随机变量,求:

       (1)  (2)

分析:对正态分布的概率计算,要先将其标准化,然后查表计算。

解:

方法一:因为,所以,从而

(1)

(2)

                  =

方法二:设的分布函数为,则,于是

(1)

(2)

例10 设随机变量的分布律为

 

  X

        0      1      2

  pi

      0         0.2     0.2

求(1)的值, (2)的分布律。

分析:这是求离散型随机变量的函数分布,先根据分布律的性质求出

,然后再根据公式求函数分布即可。

解:(1)由于,所以

              (2)的分布律为

 

  X2

 0     1    4

  pi

 0.4   0.2  0.4    

 的分布律为

  

  2X+1

         1     3      5

  pi

 0.2      0     0.4   0.2    0.2

注:在本题中需要注意的是,

例1 1 设随机变量均匀分布),求

(1)随机变量的概率密度函数,

 (2)  随机变量的概率密度函数。

分析:这是求连续型随机变量的函数分布,而且给定的函数非严格单调的,应先求分布函数,然后对分布函数求导数。

解:由条件知随机变量的概率密度为

(1)*的分布函数,显然,当时,,当 当时,有

=

所以  

(2)*的分布函数,显然,当时,,当时,有

=

所以  

例12  如果在时间(分钟)内,通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的泊松分布,已知在一分钟内没有汽车通过的概率为,求在两分钟内多于一辆汽车通过的概率。

分析:从题意可以看出,须先求出参数,然后再根据分布律求概率。

解:用随机变量表示在时间内通过某交叉路口的汽车数,则

  

时,所以,从而当时,

     例13  某电池的寿命的正态分布,求,使得寿命在之间的概率不小于

分析:将正态分布化为标准正态分布,然后查表计算。

解:=

,即,查表得,

例14 ,求

(1)的概率密度函数,

(2)的概率密度函数。

分析:本题是连续型随机变量的函数分布,而且给出的函数单调增,所以代入公式计算即可。

解:

(1)的反函数为,所以根据公式

  

其中=

   。

(2)的反函数为,所以有

  

 

 

from: http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap2.htm

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