题解 不知道该叫啥 数论分块优化dp

题解 不知道该叫啥

题目描述

【数据范围】

​ $n\le 100,m\le 10^9$

具体做法与心路历程

考场上首先想到的是$O(nm)$的做法。后来推不动了就去看后面的题，后面题也推不动了上了个厕所回来就想出来了。真的要充分利用。还是太菜了,别人10min的切的题，我用了1h

具体做法

按照考试时的时间顺序的想法。

首先观察性质：设已经有了个长度为$n$的序列，那么求$n+1$的序列只与第$n$个数有关。且设第$n$个数为$i$,那么接下来可以填$1$~$\frac{M}{i}$内的所有数。

那么可以设$f_{n,i}$表示长度为$n$的序列第$n$个位置为$i$的方案数。那么有
$$f_{n,i}=\sum _k^{\frac{M}{i}}{f}_{n-1,k}$$
显然可以$O(m)$转移，但时间复杂度承受不住。

考虑整除分块，对于$\frac{M}{i}$相同的数可以放在同一个块了，因为他们的长度每$+1$的答案是相同的。

设$f_i$表示第$i$个块的个数，$r_i=\frac{M}{i}$,第$i$ 个块的数的范围是$a_i$~$b_i$,$le{n}_i=b_i-a_i+1$。

那么如果$b_i\le r_k$,$f_i+=f_k\times le{n}_i$

根据整除分块的性质，$f$最多有$\sqrt{M}$个。转移最坏为$O(\sqrt{m})$，还是承受不了。

注意到为区间加，那么可以差分一下(二分差分位置)，对于每次$O(\sqrt{m})$统计答案。（其实差分位置是有规律的，不用二分)。

$\mathcal{C}ode$

/*******************************
Author:galaxy yr
LANG:C++
Created Time:2019年10月24日 星期四 15时43分32秒
*******************************/
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define int long long

using namespace std;

struct IO{
    template<typename T>
    IO & operator>>(T&res)
    {
        T q=1;char ch;
        while((ch=getchar())<'0' or ch>'9')if(ch=='-')q=-q;
        res=(ch^48);
        while((ch=getchar())>='0' and ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48);
        res*=q;
        return *this;
    }
}cin;

const int maxn=1e5+10;
const int mod=1e9+7;

int n,m,a[maxn],b[maxn],cnt,len[maxn],f[maxn],r[maxn],tmp[maxn],s[maxn];

void init()
{
    for(int l=1,r;l<=m;l=r+1)
    {
        cnt++;
        r=m/(m/l);
        a[cnt]=l,b[cnt]=r;len[cnt]=r-l+1;
        f[cnt]=len[cnt];
        ::r[cnt]=m/l;
    }
}

int erfen(int val)
{
    int l=0,r=cnt,mid,ans=0;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(val>=b[mid])
            ans=mid,l=mid+1;
        else
            r=mid-1;
    }
    return ans;
}

void dp()
{
    for(int i=1;i<=cnt;i++) tmp[i]=0;
    for(int k=1;k<=cnt;k++)
    {
        tmp[1]=(tmp[1]+f[k])%mod;
        int y=erfen(r[k])+1;
        tmp[y]=(tmp[y]-f[k]+mod)%mod;
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        tmp[i]=(tmp[i]+tmp[i-1])%mod,f[i]=1ll*tmp[i]*len[i]%mod;
}

signed main()
{
    //freopen("noname.in","r",stdin);
    //freopen("noname.out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    init();
    while(--n)
        dp();
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        ans=(ans+f[i])%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}