信号与系统

常用傅里叶变换

$$门函数g_\tau(t)\longleftrightarrow \tau Sa(\frac{\omega\tau}{2})\\ 单边指数函数e^{-\alpha t}\varepsilon(t)\longleftrightarrow \frac{1}{\alpha+j\omega}\\ 双边指数函数e^{-\alpha |t| }\varepsilon(t)\longleftrightarrow \frac{2\alpha}{{\alpha}^2+{\omega}^2}\\ \delta(t) \longleftrightarrow 1 \\ \delta'(t) \longleftrightarrow j\omega \\ 1 \longleftrightarrow 2\pi \delta(\omega) \\ t \longleftrightarrow j2\pi \delta'(\omega) \\ 符号函数sgn(t)\longleftrightarrow \frac{2}{j\omega} \\ \varepsilon(t) \longleftrightarrow \frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega) \\ cos(\omega_0t) \longleftrightarrow \pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)] \\ sin(\omega_0t) \longleftrightarrow j\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)] \\ $$

傅里叶变换性质

$$线性 \qquad a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\longleftrightarrow a_1F(j\omega)+a_2F(j\omega)\\ 奇偶性\qquad f(-t)\longleftrightarrow F(j\omega)\\ 对称性\qquad F(jt)\longleftrightarrow 2\pi f(-\omega)\\ 尺度变换\qquad f(at)\longleftrightarrow \frac{1}{|a|}F(j\frac{\omega}{a}) \\ 时移特性\qquad f(t\pm t_0)\longleftrightarrow e^{\pm j\omega t_0}F(j\omega)\\ 频移特性\qquad f(t)e^{\pm j\omega_0 t}\longleftrightarrow F(j(\omega\mp\omega_0)\\ 卷积定理\qquad f_1(t)*f_2(t)\longleftrightarrow F_1(j\omega)F_2(j\omega)\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f_1(t)f_2(t)\longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(j\omega)*F_2(j\omega)\\ 时域微分和积分\qquad f^{(n)}(t)\longleftrightarrow (j\omega)^n F(j\omega)\\ 频域微分和积分\qquad (jt)^nf(t)\longleftrightarrow F^{(n)}(j\omega)\\ 相关定理\qquad R_{12}(\tau)\longleftrightarrow F_1(j\omega)F_2(-j\omega)=F_1(j\omega)F_2^*(j\omega)$$