筛质数朴素筛法埃氏筛法线性筛法_埃氏筛法调和级数-优快云博客

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文章介绍了三种不同的质数筛法：朴素筛法的时间复杂度为O(nlogn)，埃氏筛法优化到O(nloglogn)，线性筛法则进一步优化到O(n)。线性筛法的关键在于每次都用最小质因子筛，确保每个数只被筛一次，通过避免不必要的计算提高了效率。

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朴素筛法 O(nlogn)

不管是质数还是合数，都筛掉他们的倍数

int get_prime(int k)
{
    //for(int i=2;i<=k/i;i++)  这里需要都筛一遍
    for(int i=2;i<=k;i++)
    {
        if(st[i]==0) prime[cnt++]=i;
        for(int j=i+i;j<=k;j+=i)
        {
            st[j]=1;
        }
    }
    return cnt;
}

时间复杂度分析：
$\frac{n}{2}+ \frac{n}{3}+ ...+ \frac{n}{n-1}+ \frac{n}{n} =n*(\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ ...+ \frac{1}{n-1}+ \frac{1}{n} )$
括号内为调和级数，时间复杂度可记为O(nlogn)

埃氏筛法 O(nloglogn)

只筛掉质数的倍数

int get_prime(int k)
{
    for(int i=2;i<=k;i++)
    {
        if(st[i]==0)
        {
             prime[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<=k;j+=i) st[j]=1;
        }
    }
    return cnt;
}

线性筛法O(n)

每次都用最小质因子筛，保证每个数只会被筛一次

利用1 ~ j个质数与当前的i,筛掉prime[j] * i，每次遍历1 ~ j个质数，与当前的i相乘

🎈🎈🎈问题是如何保证prime[j]是prime[j]*i的最小质因子？

当i%prime[j]!=0时：说明还没有执行if(i%prime[1~j-1]==0) break;也就是i并没有小于prime[j]的质因子，当前prime[j]*i中i并没有小于prime[j]的质因子，所以prime[j]是prime[j]*i的最小质因子

当i%prime[j]==0时：i可以写成k*prime[j]，prime[j+1]*i可以写成prime[j+1]*k *prime[j],所以往后遍历到的都不会是最小质因子，那后面的会如何筛掉？后面的在i=k时就被筛掉了，也就是在前面就被筛掉了

int get_prime(int k)
{
    for(int i=2;i<=k;i++)
    {
        if(st[i]==0) prime[cnt++]=i;
        //for(int j=0;j<=k/prime[j];j++)
        for(int j=0;prime[j]<=k/i;j++)
        {
            st[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    return cnt;
}