组合数学基础

n元素集合的循环r排列的数目是:

                                                                         

特别的，n个元素的循环排列的数目是

帕斯卡公式：

                                                                        

多重集合的排列：

设S是多重集合，它有k种不同类型的对象，且每一种类型的有限重复数分别是。设S的大小。则S的排列数目等于

                                                                         

多重集合的组合：

设S是k种类型对象的多重集合，每种元素均具有无限的重复数。那么S的r组合的个数等于：

                                                                        

卡特兰数

1，1，2，5，14，42，132，429，1430，4832......

考虑由n个+1和n个-1组成的2n序列，a1，a2，...，a2n，其部分和总满足a1 + a2 + ... + ak >= 0 （k=1，2，... 2n)

序列的个数等于第n个卡特兰数  

递推公式1：

递推公式2：​​

 

第一类斯特林数

表示的是将 n 个不同元素构成 m 个圆排列的数目。

设人被标上1,2,.....p，则将这 p 个人排成 m 个圆有两种情况：

1. 在一个圆圈里只有标号为 p 的人自己，排法有 个。

2. p 至少和另一个人在一个圆圈里。这些排法通过把 1,2....n-1 排成 m 个圆再把 n 放在 1,2....n-1 任何一人左边得到，因此第二种类型排法共有 种

我们所做的就是把 {1,2,...,p} 划分到 m 个非空且不可区分的盒子，然后将每个盒子中的元素排成一个循环排列。

综上，可得出第一类Stirling数定理：

边界条件：

  
  
 

第二类斯特林数

表示的是把 n 个不同元素划分到 m 个集合的方案数

元素在哪些集合并不重要，唯一重要的是各集合里装的是什么，而不管哪个集合装了什么。

考虑将前 n 个正整数，{1,2,...,n} 的集合作为要被划分的集合，把 {1,2,...,n} 分到 m 个非空且不可区分的集合的划分有两种情况：

1. 那些使得 n 自己单独在一个集合的划分，存在有 种划分个数
2. 那些使得 n 不单独自己在一个盒子的划分，存在有 种划分个数

考虑第二种情况，n 不单独自己在一个盒子，也就是 n 和其他元素在一个集合里面，也就是说在没有放 n 之前，有 n-1 个元素已经分到了m 个非空且不可区分的盒子里面（划分个数为），那么现在问题是把 n 放在哪个盒子里面，此时有 m 种选择，所以存在有

综上，可得出第二类斯特林数定理： 

边界条件：