数论基础

欧几里德算法

即求两个数的最大公因子

int GCD(int a,int b)
{
    if(b == 0) return a;
    else return GCD(b,a % b);
}

扩展欧几里德算法

它可以用来求解（a，b，c为整数）的方程的一组整数解，事实上，只有时，此方程才有整数解。具体实现

ll exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    ll d = a;
    if(b != 0) {
        d = exgcd(b,a % b,y,x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else {
        x = 1,y = 0;
    }
    return d;
}

根据扩展欧几里德求ax+by=c的最小正整数解，先得到的解，如果c能整除则表明该方程有解，，最小正整数解为（x1 % (b / gcd(a,b) + b / gcd(a,b)) % (b / gcd(a,b))。

线性筛素数

时间复杂度O（n）

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define maxn 100005
bool isPrime[maxn];
int prime[maxn];
void init()
{
    int i,j,cnt;
    cnt = 0;
    memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;
    for(i = 2; i < maxn; i++) {
        if(isPrime[i])
            prime[cnt++] = i;
        for(j = 0; j < cnt && i * prime[j] < maxn; j++) {
            isPrime[i * prime[j]] = false;
            if(i % prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}
int main(void)
{
    init();
    return 0;
}

 

唯一分解定理

每一个数都可以表示为,  都是素数，由此可以得出一个数的因子数为

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
map<int,int> prime_factor(int n)
{
    int i;
    map<int,int> res;
    for(i = 2; i * i <= n; i++) {
        while(n % i == 0) {
            res[i]++;
            n /= i;
        }
    }
    if(n != 1)
        res[n] = 1;
    return res;
}
int main(void)
{
    map<int,int> res = prime_factor(130);
    map<int,int>::iterator it;
    for(it = res.begin(); it != res.end(); it++) {
        printf("%d %d\n",it -> first,it -> second);
    }
    return 0;
}

欧拉函数

对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目，互质即,两个数的公因子只有1。

下面代码即筛出来了素数，也求出了欧拉。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
const int maxn = 10000000;
bool isPrime[maxn + 10];
int phi[maxn + 10];
int prime[maxn + 10];
int tot;
void init(int N)
{
    int i,j;
    memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
    isPrime[0] = isPrime[1] = false;
    tot = 0;
    phi[1] = 1;
    for(i = 2; i <= N; i++) {
        if(isPrime[i]) {
            prime[tot++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(j = 0; j < tot; j++) {
            if(i * prime[j] > N)
                break;
            isPrime[i * prime[j]] = false;
            if(i % prime[j] == 0) {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}
int main(void)
{
    int i;
    init(105);
    for(i = 0; i <= 105; i++)
        printf("%d %d\n",i,phi[i]);
    return 0;
}

求单个数的欧拉

ll eular(ll n)
{
    int i;
    ll ans = n;
    for(i = 2; i * i <= n; i++) {
        if(n % i == 0) {
            ans -= ans / i;
            while(n % i == 0)
                n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans -= ans / n;
    return ans;
}

乘法逆元

如果，且，则称a关于模p的乘法逆元为x

   , 关于模p的乘法逆元

求逆元三种方法

费马小定理

若p为素数，则有 

就是a在mod p意义下的逆元

代码用快速幂实现

ll q_pow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll res,base;
    res = 1;
    base = a;
    while(b) {
        if(b & 1)
            res = (res * base) % mod;
        base = (base * base) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
ll getInv(ll a,ll mod)
{
    return q_pow(a,mod - 2,mod);
}

用扩展欧几里德求乘法逆元：

代码实现

ll exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y)
{
    ll d = a;
    if(b != 0) {
        d = exgcd(b,a % b,y,x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else {
        x = 1,y = 0;
    }
    return d;
}
ll getInv(ll a,ll mod)
{
    ll x,y;
    ll d = exgcd(a,mod,x,y);
    return d == 1 ? (x % mod + mod) % mod : -1;
}

递推求逆元

应用于求组合数

LL fac[MAXN],facinv[MAXN];
LL qpow(LL a, LL b)
{
    LL res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = (res * a) % MOD;
        a = (a * a) % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
void init()
{
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i < MAXN; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
    facinv[MAXN - 1] = qpow(fac[MAXN - 1], MOD - 2);
    for(int i = MAXN - 1; i > 0; i--)
        facinv[i - 1] = facinv[i] * i % MOD;
}
LL C(LL n, LL m)
{
    if(n < 0 || m < 0 || m > n)
        return 0;
    return fac[n] * facinv[m] % MOD * facinv[n - m] % MOD;

}