几何视角下的行列式解读与理解

在我们已经理解了线性变换的概念的前提下，这个线性变换对应的矩阵A的行列式必然有其几何意义（而且十分直观）：

以二维为例：

行列式的绝对值即为线性变换后面积的与原面积的比值（如图）

通过这个观点可以很直接的理解为什么不可逆矩阵的行列式为0：

同样以二维为例：

对于不可逆矩阵，其线性变换是将一组基向量压缩到了一条直线上，换句话说，变换后的面积为0。

那么，根据行列式的定义，不可逆矩阵的行列式自然为0，而可逆矩阵行列式自然不为0。

但细心的同学会发现，行列式存在负值，这又表示什么意义呢？

这引入了有向面积的概念：

当一对基向量持续接近时，其对应线性变换的行列式也持续减小，

直到两向量交叉，相对位置互换，这时行列式即为负值。

因此我们直到行列式值为2与-2是两码事，后者像是前者的基础上把整个平面翻了一个个

最后，利用这个几何意义我们理解下老师讲的行列式乘法的思考题:

关于 AB ?=BA 而det(AB)=det(BA)

其实一点都不匪夷所思，反而它成立地如此令人舒服的自然。

AB与BA 相当于对X 先做A线性变换还是先做B线性变化的问题，