谱定理等周边定理

0.1 正交矩阵

• 简述：我的转置是我的逆，那我就是正交矩阵
• 定义：

$$\text{orthogonal\_matrix}(A):=\left(A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}\text{and}{A}^{T}A=I_n\right)$$

0.2 对角矩阵

• 简述：如果一个矩阵只有对角线上可以有非零元素，除此之外其他位置元素均为零，那么这个矩阵是对角矩阵
• 定义：

diagonal_matrix(A):=A∈Rn×nand  ∀i∈{1,⋯ ,n}  ∀j∈{1,⋯ ,n}(Aij≠0⇒i=j) \begin{aligned} &\text{diagonal\_matrix}(A):=A\in \R^{n\times n}\\ &\text{and} \; \forall i \in \{1, \cdots, n\}\;\forall j\in\{1,\cdots,n\}(A_{ij} \neq 0 \Rightarrow i=j) \end{aligned} ​diagonal_matrix(A):=A∈Rn×nand∀i∈{1,⋯,n}∀j∈{1,⋯,n}(Aij​=0⇒i=j)​

• 表示：

diag(λ1,⋯ ,λn):=A  where  A∈Rn×n  and  (∀i∈{1,⋯ ,n}  Aii=λi)  and  diagonal_matrix(A) \begin{aligned} &\text{diag}(\lambda_1, \cdots, \lambda_n):=A\;\\ &\text{where}\;A\in \R^{n\times n}\;\text{and}\;(\forall i\in\{1, \cdots, n\}\;A_{ii}=\lambda_i) \;\text{and}\;\text{diagonal\_matrix}(A) \end{aligned} ​diag(λ1​,⋯,λn​):=AwhereA∈Rn×nand(∀i∈{1,⋯,n}Aii​=λi​)anddiagonal_matrix(A)​

0.3 实对称矩阵

• 简述：我的转置是我自己，那我就是对称矩阵
• 定义：

$$\text{symmetric\_matrix}(A):=\left(A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}\text{and}{A}^T=A\right)$$

0.4 二次型

• 描述：$x=(x_1,\cdots ,x_n{)}^T$ 是一个变量构成的向量，$A$ 是一个方阵，则向量函数 $f(x)=x^{T}Ax$ 称为与 $A$ 对应的二次型函数
• 定义：

$$\begin{array}{rl}& {\text{quadratic\_form}}_A:=f\\ & \text{where}f:{\mathbb{R}}^n\mapsto \mathbb{R},f(x)=x^{T}Ax\end{array}$$

0.5 矩阵相似

• 定义：

$$A\sim B:=\exists P\text{orthogonal\_matrix}(P)\text{and}A=P^{T}BP$$

0.6 特征值

• 描述：一个矩阵在某些方向上做乘法的作用被简化为线性的缩放，缩放系数就是特征值
• 定义：

eigenvalue_set(A):={λ  ∣  ∃x∈Rn  (x≠0  and  Ax=λx)} \text{eigenvalue\_set}(A):=\{\lambda\;|\;\exist x\in R^n\;(x\neq0\text{\;and\;}Ax=\lambda x)\} eigenvalue_set(A):={λ∣∃x∈Rn(x=0andAx=λx)}

• 补充：最大特征值又被称为谱半径

1.1 谱定理

• 简述：任意实对称矩阵一定可以相似对角化，对角阵元素为该矩阵特征值
• 内容：

∀A  symmetric_matrix(A)⇒∃Λ  ∃P  (diagonal_matrix(Λ)  and  orthogonal_matrix(P)  and  A∼Λ  and                          {Λii  ∣  i∈{1,⋯ ,n}}=eigenvalue_set(A)) \begin{aligned} &\forall A\;\text{symmetric\_matrix}(A)\Rightarrow \\ &\exist \Lambda\;\exist P\;(\text{diagonal\_matrix}(\Lambda) \text{\;and\;}\text{orthogonal\_matrix}(P)\text{\;and\;}A\sim \Lambda \text{\;and\;}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\{\Lambda_{ii}\;|\;i\in\{1, \cdots, n\}\}=\text{eigenvalue\_set}(A)) \end{aligned} ​∀Asymmetric_matrix(A)⇒∃Λ∃P(diagonal_matrix(Λ)andorthogonal_matrix(P)andA∼Λand{Λii​∣i∈{1,⋯,n}}=eigenvalue_set(A))​

• 证明：待补充

1.2 谱半径定理

• 简述：实对称矩阵的最大特征值等于其二次型在单位向量空间上的最大值
• 内容：

symmetric_matrix(A)⇒max  eigenvalue_set(A)=max⁡x∈Rn,∥x∥=1{quadratic_formA(x)} \text{symmetric\_matrix}(A) \Rightarrow \text{max}\;\text{eigenvalue\_set}(A)=\max_{x\in\R^n,\|x\|=1}\{\text{quadratic\_form}_A(x)\} symmetric_matrix(A)⇒maxeigenvalue_set(A)=x∈Rn,∥x∥=1max​{quadratic_formA​(x)}

• 思路：对 $A$ 做相似对角化
• 证明：待补充