算法笔记：树状数组

树状数组的思想原理：前缀和加上类似倍增的思想，相当于前缀和的进阶版

树状数组的序号必须从1开始。

实现原理

每个元素用二进制表示，最右侧的‘1’是储存的区间和的区间长度
lowbit：i&(-i)就是求i的最右边的‘1’

每个元素x储存的区间：[x-lowbit[x]+1,x]（理解为：【当前位置-区间长度+1，当前位置】。比如12，储存的就是[9,12]的区间和）

基本应用

正常树状数组：范围查询，单点修改
差分树状数组：范围修改，单点查询

经典应用与原理

前缀和查询（范围[1，i]，返回ans）：

（i对应的树状数组元素所储存的区间是[i-lowbit[i]+1,i]）

1.ans加上i对应的树状数组元素（就是[i-lowbit[i]+1,i]的区间和）

2.i减去lowbit(i)。由于已经算出[i-lowbit[i]+1,i]的区间和，所以将区间缩小到[0,i-lowbit(i)]。如果i==0，说明已经算完了。

代码

int sum(int i){
	int ans = 0;
	while(i>0){
		ans+=tree[i];
		i-=lowbit(i);
	}
	return ans;
}

区间和查询（范围[l，r]）

代码

int query(int l,int r){
	return sum(r)-sum(l-1);
}

单点修改（位置i，加上k）

目标就是找到哪些树状数组元素包含这个位置i。

而i+lowbit(i)一定包含i。

代码

void add(int i,int k){
	while(i<=n){
		tree[i]+=k;
		i+=lowbit(i);
	}
}

树状数组实现区间最值查询

修改

用一个单独的数组储存当前数组的元素。

对于x，可以转移到x的只有，x-2^0，…….，x-2^k （k满足2^k < lowbit(x)且2^(k+1)>=lowbit(x)）

所以tr[x] = max(tr[x],tr[x-k]);(k满足2^k < lowbit(x)且2^(k+1)>=lowbit(x)）

代码

void update(int x)  
{  
    int lx, k;  
    while (x <= n)  
    {  
        tr[x] = a[x]; //该元素已经在a中修改了
        lx = lowbit(x);  
        for (k=1; k<lx; k<<=1)  
            tr[x] = max(tr[x], tr[x-k]);  
        x += lowbit(x);  
    }         
}  

区间查询

因为tr[y]表示的是[y,y-lowbit(y)+1]的最大值。

所以，可以这样求解：

若y-lowbit(y) > x ，则query(x,y) = max( tr[y] , query(x, y-lowbit(y)) );
也就是包含在x–y这个区间中

若y-lowbit(y) <=x，则query(x,y) = max( a[y] , query(x, y-1)）;
这种情况就是超出了x–y的范围，所以不能直接用y–lowbit(y)，只能减少y。

时间复杂度是O（(logn)^2）

代码

int query(int x, int y)  
{  
    int ans = 0;  
    while (y >= x)  
    {  
        ans = max(a[y], ans);    
        for (--y; y-lowbit(y) >= x; y -= lowbit(y))  
        ans = max(tr[y], ans);  
    }  
    return ans;  
}