算法笔记:二分&&三分(总)

一.定义

二分用于快速搜索成单调性排列的数据,三分用于快速搜索成单峰排列且左右区间严格单调的数据。

二.二分&&三分本质

1.用途是求出可行解的最值问题

2.实现是逐次逼近的思想。隐含条件是强制要求最值一定在当前搜索区间内,因此不会出现最值被跳过的情况。

3.要求是数据必须有序。二分要求数据单调排列,单增或单减;三分要求数据单峰排列且左右区间严格单调,即凸函数(先增再减)或凹函数(先减再增)。

三.代码

二分

二分要求数据单调排列,单增或单减

#define N 100
int num[N];//搜索空间

bool check(){...}//可行解的判断条件

void main(){
    int l = 0,r = N;N
    int ans;
    while(l<=r){
        //假设我们希望结果越大越好
        int mid = (l+r)/2;
        if(check(mid)){
            ans = max(ans,mid);
            l = mid + 1;
        }else{
            r = mid - 1;
        }
    }
}

/*
二分搜索的最经典应用:寻找数组内>=某个数的第一个下标:
bool check(int mid,int target){
    //target是比较数
    if(num[mid]>=target){
        return true;
    }else{
        return false;
    }
}
其余不变
*/

三分

三分要求数据单峰排列且左右严格单调,即凸函数(先增再减)或凹函数(先减再增)。

#define N 100
int num[N];//搜索空间

int check(int mid){...}//当前数值得出的结果

void main(){
    int l = 0,r = N;
    int ans;
    while(l<=r){
        //假设我们希望可行解最值越大越好
        int mid1 = l+(r-l)/3;
        int mid2 = r-(r-l)/3;
        ans = max(ans,max(mid1,mid2));
        if(check(mid1)>check(mid2)){
            l = mid1 + 1;
        }else{
            r = mid2 - 1;
        }
    }
}

左右区间严格单调很重要,否则可能出现

check(mid1)==check(mid2)

此时缩左区间或右区间都有可能出错。

使用三分法一定确保左右区间严格单调,这点经常出错,好多题都是乍一看大体满足单峰,但是实际上可能不是严格单调的甚至是多峰的。

如求多边形某个顶点的最长对角线就不可以用三分。

四.二分的扩展——01分数规划

01分数规划是二分答案的一种类型,顾名思义,解决的问题都与分数有关。

模板如下:

有n个数字对(x1,y1)(x2,y2)....(xn,yn),在其中选k个对,设这k对的x加和为sum_x,y加和为sum_y,求选哪k个对,使得sum_x/sum_y最大。

首先这题无法用贪心,读者可以自行验证。

我们设sum_x/sum_y为n,那所有数对可以表示为xi-n*yi,称为结余。

我们选择结余最大的前k个数相加,如果恰好等于0,说明恰好选择了正确答案;如果小于0,说明n过大(即便选了最大的前k个数也仍然<0);大于0说明n还可以更大。

注意题目的精度要求。

const int N = 1e5;
double a[N][2];//全部数对
double temp[N];
int k;//选k个
bool check(double x){
    for(int i = 0;i<N;i++){
        temp[i]=a[0]-a[1]*x;
    }
    sort(temp,temp+N,vector<greater>);//这样好像能从大到小排列,我忘了
    double sum = 0;
    for(int i = 0;i<k;i++){
        sum+=temp[i];
    }
    return sum>=0;
}
int main(){
    double l,r,mid;
    double sm = 1e-7,ans;//精度要满足题目要求
    while(l+sm<=r){
        if(check(mid)){
            ans = max(ans,min);
            l = mid+sm;
        }else{
            r = mid-sm;
        }
    }

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值