算法笔记：二分&&三分（总）

一.定义

二分用于快速搜索成单调性排列的数据，三分用于快速搜索成单峰排列且左右区间严格单调的数据。

二.二分&&三分本质

1.用途是求出可行解的最值问题。

2.实现是逐次逼近的思想。隐含条件是强制要求最值一定在当前搜索区间内，因此不会出现最值被跳过的情况。

3.要求是数据必须有序。二分要求数据单调排列，单增或单减；三分要求数据单峰排列且左右区间严格单调，即凸函数（先增再减）或凹函数（先减再增）。

三.代码

二分

二分要求数据单调排列，单增或单减

#define N 100
int num[N];//搜索空间

bool check(){...}//可行解的判断条件

void main(){
    int l = 0,r = N;N
    int ans;
    while(l<=r){
        //假设我们希望结果越大越好
        int mid = (l+r)/2;
        if(check(mid)){
            ans = max(ans,mid);
            l = mid + 1;
        }else{
            r = mid - 1;
        }
    }
}

/*
二分搜索的最经典应用：寻找数组内>=某个数的第一个下标：
bool check(int mid,int target){
    //target是比较数
    if(num[mid]>=target){
        return true;
    }else{
        return false;
    }
}
其余不变
*/

三分

三分要求数据单峰排列且左右严格单调，即凸函数（先增再减）或凹函数（先减再增）。

#define N 100
int num[N];//搜索空间

int check(int mid){...}//当前数值得出的结果

void main(){
    int l = 0,r = N;
    int ans;
    while(l<=r){
        //假设我们希望可行解最值越大越好
        int mid1 = l+(r-l)/3;
        int mid2 = r-(r-l)/3;
        ans = max(ans,max(mid1,mid2));
        if(check(mid1)>check(mid2)){
            l = mid1 + 1;
        }else{
            r = mid2 - 1;
        }
    }
}

左右区间严格单调很重要，否则可能出现

check(mid1)==check(mid2)

此时缩左区间或右区间都有可能出错。

使用三分法一定确保左右区间严格单调，这点经常出错，好多题都是乍一看大体满足单峰，但是实际上可能不是严格单调的甚至是多峰的。

如求多边形某个顶点的最长对角线就不可以用三分。

四.二分的扩展——01分数规划

01分数规划是二分答案的一种类型，顾名思义，解决的问题都与分数有关。

模板如下：

有n个数字对(x1,y1)(x2,y2)....(xn,yn)，在其中选k个对，设这k对的x加和为sum_x，y加和为sum_y，求选哪k个对，使得sum_x/sum_y最大。

首先这题无法用贪心，读者可以自行验证。

我们设sum_x/sum_y为n，那所有数对可以表示为xi-n*yi，称为结余。

我们选择结余最大的前k个数相加，如果恰好等于0，说明恰好选择了正确答案；如果小于0，说明n过大（即便选了最大的前k个数也仍然<0)；大于0说明n还可以更大。

注意题目的精度要求。

const int N = 1e5;
double a[N][2];//全部数对
double temp[N];
int k;//选k个
bool check(double x){
    for(int i = 0;i<N;i++){
        temp[i]=a[0]-a[1]*x;
    }
    sort(temp,temp+N,vector<greater>);//这样好像能从大到小排列，我忘了
    double sum = 0;
    for(int i = 0;i<k;i++){
        sum+=temp[i];
    }
    return sum>=0;
}
int main(){
    double l,r,mid;
    double sm = 1e-7,ans;//精度要满足题目要求
    while(l+sm<=r){
        if(check(mid)){
            ans = max(ans,min);
            l = mid+sm;
        }else{
            r = mid-sm;
        }
    }