一.定义
二分用于快速搜索成单调性排列的数据,三分用于快速搜索成单峰排列且左右区间严格单调的数据。
二.二分&&三分本质
1.用途是求出可行解的最值问题。
2.实现是逐次逼近的思想。隐含条件是强制要求最值一定在当前搜索区间内,因此不会出现最值被跳过的情况。
3.要求是数据必须有序。二分要求数据单调排列,单增或单减;三分要求数据单峰排列且左右区间严格单调,即凸函数(先增再减)或凹函数(先减再增)。
三.代码
二分
二分要求数据单调排列,单增或单减
#define N 100
int num[N];//搜索空间
bool check(){...}//可行解的判断条件
void main(){
int l = 0,r = N;N
int ans;
while(l<=r){
//假设我们希望结果越大越好
int mid = (l+r)/2;
if(check(mid)){
ans = max(ans,mid);
l = mid + 1;
}else{
r = mid - 1;
}
}
}
/*
二分搜索的最经典应用:寻找数组内>=某个数的第一个下标:
bool check(int mid,int target){
//target是比较数
if(num[mid]>=target){
return true;
}else{
return false;
}
}
其余不变
*/
三分
三分要求数据单峰排列且左右严格单调,即凸函数(先增再减)或凹函数(先减再增)。
#define N 100
int num[N];//搜索空间
int check(int mid){...}//当前数值得出的结果
void main(){
int l = 0,r = N;
int ans;
while(l<=r){
//假设我们希望可行解最值越大越好
int mid1 = l+(r-l)/3;
int mid2 = r-(r-l)/3;
ans = max(ans,max(mid1,mid2));
if(check(mid1)>check(mid2)){
l = mid1 + 1;
}else{
r = mid2 - 1;
}
}
}
左右区间严格单调很重要,否则可能出现
check(mid1)==check(mid2)
此时缩左区间或右区间都有可能出错。
使用三分法一定确保左右区间严格单调,这点经常出错,好多题都是乍一看大体满足单峰,但是实际上可能不是严格单调的甚至是多峰的。
如求多边形某个顶点的最长对角线就不可以用三分。
四.二分的扩展——01分数规划
01分数规划是二分答案的一种类型,顾名思义,解决的问题都与分数有关。
模板如下:
有n个数字对(x1,y1)(x2,y2)....(xn,yn),在其中选k个对,设这k对的x加和为sum_x,y加和为sum_y,求选哪k个对,使得sum_x/sum_y最大。
首先这题无法用贪心,读者可以自行验证。
我们设sum_x/sum_y为n,那所有数对可以表示为xi-n*yi,称为结余。
我们选择结余最大的前k个数相加,如果恰好等于0,说明恰好选择了正确答案;如果小于0,说明n过大(即便选了最大的前k个数也仍然<0);大于0说明n还可以更大。
注意题目的精度要求。
const int N = 1e5;
double a[N][2];//全部数对
double temp[N];
int k;//选k个
bool check(double x){
for(int i = 0;i<N;i++){
temp[i]=a[0]-a[1]*x;
}
sort(temp,temp+N,vector<greater>);//这样好像能从大到小排列,我忘了
double sum = 0;
for(int i = 0;i<k;i++){
sum+=temp[i];
}
return sum>=0;
}
int main(){
double l,r,mid;
double sm = 1e-7,ans;//精度要满足题目要求
while(l+sm<=r){
if(check(mid)){
ans = max(ans,min);
l = mid+sm;
}else{
r = mid-sm;
}
}