AtCoder ABC335 E - Non-Decreasing Colorful Path（拓扑排序、并查集）

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于 2024-01-11 20:37:23 首次发布

文章讲述了在处理一个关于无向图的题目时，如何通过优化路径选择、使用缩点和dp方法来解决点权不减路径问题，以及在实现过程中遇到的TLE（时间限制超出）和WA（运行错误）的解决方案和原因分析。

给一张 $N$ 个点， $M$ 条边的无向图，每个点有点权，问从顶点 $1$ 到顶点 $N$ 满足经过点的点权不减的路径中，不同点权的数量最多是多少。

PS:这题是见过的细节超多的一道题，在看了题解知道思路后，自己实现，还能wa一页，非常离谱，这里主要讲一下我遇到的坑有哪些。
首先题目要求路径上点权不减，很明显可以在建图时只保留点权小到点权大的边，这样随便的路径都能够满足点权不减的要求，难在维护路径上不同点权的数量。

很容易想到，可以利用 $d p$ 的方式来维护，第一个点的 $d p$ 值为1，然后向与它相邻的点更新 $d p$ 值，如果相邻的点权值相等，则 $d p$ 值用原先的更新，否则用原先的 $d p$ 值+1更新，这样就可以用拓扑排序bfs慢慢跑完更新，就荣获一个TLE。

赛后忽然想到，我那样bfs会TLE的原因在于没有缩点，而对联通的点权相同的点来说是显然的，因为路径上点权递增，所以对缩完的点来说，如果走出去了，那么就肯定不用再回头，所以这些点只会最多经过一次，当然内部之间可以随便跳，所以可以缩点。

缩点的方法，我一开始懒得写并查集，就想直接用一个数组记一下映射，第一次出现点权的点当作父节点，然后缩点。
然后wa了2次之后，才想起来我这个毛病犯得很粗暴，那就是我变成在开始读入点权时候就缩点了，其中可能有的点权相同的点并不连通，所以不能缩。所以还是需要使用并查集，那没办法了，改！于是喜提wa2

使用并查集，并且离线建边，在缩点后重新建边，再次跑拓扑排序，依旧wa。然后发现是我初始化结点1的 $d p$ 值忘记修改为初始化1号结点的父亲的 $d p$ 值，所以错了。而且拓扑排序有可能是从其他入度为0的结点开始走，所以还需要其他结点的