NOI2015品酒大会后缀数组

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后缀数组

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本文解析了一道关于品酒大会的算法题，通过后缀数组的方法，统计不同相似度的酒对数量及最大美味度。涉及后缀数组构建、并查集等技术。

题目描述

一年一度的“幻影阁夏日品酒大会”隆重开幕了。大会包含品尝和趣味挑战两个环节，分别向优胜者颁发“首席品酒家”和“首席猎手”两个奖项，吸引了众多品酒师参加。

在大会的晚餐上，调酒师 Rainbow 调制了 n 杯鸡尾酒。这 n 杯鸡尾酒排成一行，其中第 n 杯酒 (1 ≤ i ≤ n) 被贴上了一个标签si，每个标签都是 26 个小写英文字母之一。设 str(l, r)表示第 l 杯酒到第 r 杯酒的 r − l + 1 个标签顺次连接构成的字符串。若 str(p, po) = str(q, qo)，其中 1 ≤ p ≤ po ≤ n, 1 ≤ q ≤ qo ≤ n, p ≠ q, po − p + 1 = qo − q + 1 = r ，则称第 p 杯酒与第 q 杯酒是“ r 相似” 的。当然两杯“ r 相似”(r > 1)的酒同时也是“ 1 相似”、“ 2 相似”、……、“ (r − 1) 相似”的。特别地，对于任意的 1 ≤ p , q ≤ n ， p ≠ q ，第 p 杯酒和第 q 杯酒都是“ 0 相似”的。

在品尝环节上，品酒师 Freda 轻松地评定了每一杯酒的美味度，凭借其专业的水准和经验成功夺取了“首席品酒家”的称号，其中第 i 杯酒 (1 ≤ i ≤ n) 的美味度为 ai 。现在 Rainbow 公布了挑战环节的问题：本次大会调制的鸡尾酒有一个特点，如果把第 p 杯酒与第 q 杯酒调兑在一起，将得到一杯美味度为 ap*aq 的酒。现在请各位品酒师分别对于 r = 0,1,2, ⋯ , n − 1 ，统计出有多少种方法可以选出 2 杯“ r 相似”的酒，并回答选择 2 杯“ r 相似”的酒调兑可以得到的美味度的最大值。

输入输出格式

输入格式：
第 1 行包含 1 个正整数 n ，表示鸡尾酒的杯数。

第 2 行包含一个长度为 n 的字符串 S，其中第 i 个字符表示第 i 杯酒的标签。

第 3 行包含 n 个整数，相邻整数之间用单个空格隔开，其中第 i 个整数表示第 i 杯酒的美味度 ai 。

输出格式：
包括 n 行。第 i 行输出 2 个整数，中间用单个空格隔开。第 1 个整数表示选出两杯“ (i − 1) 相似”的酒的方案数，第 2 个整数表示选出两杯 “ (i − 1) 相似”的酒调兑可以得到的最大美味度。若不存在两杯“ (i − 1) 相似” 的酒，这两个数均为 0 。

分析：
题意很简单，就是要求 $lcp(x,y)>=l$ 的(x,y)的对数以及最大的f(x)*f(y)。首先很容易想到要用后缀数组，接下来的变换具有一定的思维难度。

我们可以考虑从大到小枚举height，然后按顺序每一次将其两边的后缀集合合并，用并查集实现。

这样我们每一次合并的后缀集合的组合一定满足它们的lcp会大于等于height[i],这两个集合的合并对任意ｒ<= h[i]的答案都有其大小乘积的贡献。

最大值同样维护即可，注意由于可能有负数，所以可以再维护一个最小值。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=300010;
const LL INF=5e18;
int t[maxn],t2[maxn],sa[maxn],Rank[maxn],height[maxn],c[maxn];
int a[maxn];
int n;
char s[maxn];
bool cmp(int x,int y){
    return height[x]>height[y];
}
void build_sa(int M){
    int *x=t,*y=t2;
    for(int i=0;i<=M;i++) c[i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) c[x[i]=s[i]]++;
    for(int i=1;i<=M;i++) c[i]+=c[i-1];
    for(int i=n;i>=1;i--) sa[c[x[i]]--]=i;
    for(int k=1;k<n;k<<=1){
        int p=0;
        for(int i=n-k+1;i<=n;i++) y[++p]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++)if(sa[i]>k) y[++p]=sa[i]-k;
        for(int i=0;i<=M;i++) c[i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) c[x[y[i]]]++;
        for(int i=1;i<=M;i++) c[i]+=c[i-1];
        for(int i=n;i>=1;i--) sa[c[x[y[i]]]--]=y[i];
        swap(x,y);
        p=x[sa[1]]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            x[sa[i]]=y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i]+k]==y[sa[i-1]+k]?p:++p;
        if(p>=n) break;
        M=p;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
    int k=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int j=sa[Rank[i]+1];
        if(!j) continue;
        if(k) k--;
        while(s[i+k]==s[j+k]) k++;
        height[Rank[i]]=k;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=i;
    sort(a+1,a+n,cmp);
}
int fa[maxn];
LL cnt[maxn],Max[maxn],Maxf[maxn],Minf[maxn],size[maxn];
int find(int x){
    if(x==fa[x]) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
int main(){
    freopen("testdata.in","r",stdin);
    freopen("txt.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<=n;i++) fa[i]=i;
    scanf("%s",s+1);
    build_sa('z');
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int t=Rank[i];
        scanf("%lld",&Maxf[t]);
        size[t]=1;Max[i-1]=-INF,Minf[t]=Maxf[t];
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        int x=find(a[i]),y=find(a[i]+1);
        cnt[height[a[i]]]+=(LL)size[x]*size[y];
        Max[height[a[i]]]=max(Max[height[a[i]]],max(1LL*Minf[x]*Minf[y],1LL*Maxf[x]*Maxf[y]));
        Minf[x]=min(Minf[x],Minf[y]);Maxf[x]=max(Maxf[x],Maxf[y]);
        size[x]+=size[y];
        fa[y]=x;
    }
    for(int i=n-2;i>=0;i--) cnt[i]+=cnt[i+1],Max[i]=max(Max[i],Max[i+1]);
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%lld %lld\n",cnt[i],cnt[i]?Max[i]:0);
    return 0;
}