2025 超新星战队 B 队暑假集训模拟赛

原创已于 2025-08-04 20:24:03 修改 · 611 阅读

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#算法 #数据结构

于 2025-07-26 11:42:17 首次发布

符号与约定

$and$ ：按位与

$or$ ：按位或

$xor$ ：按位异或

$|$ ：整除

$C_n^m$ ：组合数

$d(n)$ ： $n$ 的正因数个数

Day1

T1

题意：设 $f(l,r) = f(l',r) + 1$ ，其中 $l'$ 是满足 $a_{l'} > a_l$ 的最小正整数，若 $l' > r$ ，则 $f(l,r) = 0$ 。求 $\sum_{l = 1}^n\sum_{r = l}^n f(l,r)$ 。

看了30min，感觉有一点像倍增，写了10min顺利通过，得分：100

T2

题意：称数组 $T$ 能够碰瓷数组 $S$ 当且仅当能通过操作任意次以下操作，使数组 $T$ 变换为 $S$ 。

选择下标 $1 \leq i \leq |T|$ 和一个整数 $x(x \neq T_i)$ ，然后在 $T_i$ 后插入 $x$ 。

求数组 $b$ 能碰瓷数组 $a$ 中多少个子数组。

刚开始想到的想法如下：

对于数组 $a$ 中 $b$ 的子序列，设 $c_i$ 为 $b_i$ 在 $a$ 中对应的下标，若任意 $i(1 \leq i < |b|)$ 都满足 $a_{c_i}$ 到 $a_{c_{i + 1}}$ 之间没有连续相同的数，则可以碰瓷。

感觉很像dp，写了发现不对，手玩大样例，发现判断可以碰瓷的条件错了。

正确的条件如下：设 $S$ 是 $a$ 中一个可以被 $b$ 碰瓷的子数组，则

$S_1 = b_1$
$b$ 是 $S$ 的子序列
存在 $i(1 \leq i \leq |b|)$ 满足 $b_1 = b_2 = ... = b_i$ 且存在 $j(1 \leq j \leq i)$ 满足 $S_j \neq S_{j + 1}$

可以证明这是充要条件。

最终写了一个贪心过了，总用时2h，得分：100

T3

题意：字符串 $T$ 被称为 $S$ 的旋律当且仅当 $S$ 是通过 $T$ 复制多次并连接后得到的字符串的前缀。最初 $S$ 是空串，进行 $n$ 次操作，每次操作会在 $S$ 的开头或结尾插入一个字符，问每次操作后 $S$ 有多少个旋律。

$O(n^2)$ 的做法可以获得70，于是开始写KMP，然后因为不知道什么神秘原因无法通过大样例，调了一整场，得分：0

正解是二分 + 字符串哈希。

T4

题意：有一个长度为 $n$ 的数组 $a_1,a_2,...a_n$ $(a_i \in \left \{ -1,1 \right \})$ ，有 $q$ 次操作：

$1$ $p$ ：修改 $a_p$ 为 $-a_p$
$2$ $l$ $r$ ：在 $a_l,a_{l + 1},...a_r$ 中找出最长的子序列 $x_1,x_2,...x_m$ 使对于任意一个 $i(1 \leq i \leq m)$ 都满足 $\sum_{j = 1}^i x_j \geq 0$ 且 $\sum_{j = i}^m x_j \geq 0$ ，输出长度。

赛时没看，得分：0

正解是结论题，答案为区间长度 + 区间和 - 最大字子段和，线段树维护即可。

最终得分：100 + 100 + 0 + 0 = 200

进步空间

T2用时过长，可以先把思路理清并简单证明后在开始写。

T3的70分做法假了之后可以考虑写低一档的部分分或写T4，尽可能拿分。

Day2

T1

题意：求 $(\sum_{i = L_1}^{R_1} a_i) \times (sum_{j = L_2}^{R_2} a_j)$ 的最大值。

10min秒了，枚举 $i$ ，左右两边分别求最大子段和，得分：100

T2

题意：有 $n$ 种玩偶，第 $i$ 种玩偶的大小为 $h_i$ ，扔掉一个玩偶的损失为 $c_i$ ，数量为 $p_i$ 。需要扔掉一些玩偶，使得剩下的玩偶中，最大的玩偶的数量之和严格大于扔完后剩下玩偶总数的一半，求最小损失。 $k$

贪心地从小到大做，用树状数组 + 二分维护，码量较大，用时1h20min，得分：100

T3

题面http://oj.daimayuan.top/contest/366/problem/3241

时间比较充裕，准备写正解，写了一坨4个关键字的dijkstra，无法通过大样例，调了一整场，得分：0

T4

题意：有 $n$ 条线段，第 $i$ 条线段左端点为 $l_i$ ，右端点为 $r_i$ ，一组线段的价值为该组所有线段的交集长度，每一组的价值都至少为 $1$ ，求把 $n$ 条线段分成 $k$ 组的最大价值和，无解输出 $0$ 。

写完T2后先来写的T4，发现35分的暴力非常简单，用时20min，得分：35

正解是单调队列优化dp。

最终得分：100 + 100 + 0 + 35 = 235

挂分分析

实际上并没有挂分，最终得分和预期一样。

T3的dijkstra写复杂了，改成从 $1$ 号点和 $n$ 号点分别跑一次就可以了。

进步空间

T3的正解做法假了之后可以考虑写部分分，尽可能拿分。

Day3

T1

题意：定义 $f(x,y) = \left \lceil \frac{x + y}{x\ or\ y} \right \rceil$ ，求 $\sum_{i = 1}^n \sum_{j = i + 1}^n f(a_i,a_j)$ ， $popcount(a_i) \le 4$ 。

先观察性质，注意到 $1 \le \frac{x + y}{x\ or\ y} \le 2$ ，若 $x + y = x\ or\ y$ ， $f(x,y) = 1$ ，否则 $f(x,y) = 2$ 。

所以只要统计 $a_i + a_j = a_i|a_j$ 的个数即可，因为 $popcount$ 很小，所以直接容斥。

用时50min，得分：100

T2

题意：有一个字符串 $S$ ， $S_i \in \left \{ 'A','B' \right \}$ ，一次操作选择 $\left [ l,r \right ]$ ，翻转 $S_l,S_{l + 1},...S_r$ ，问 $S$ 是否能通过最多一次操作使 最长相同连续子串 $< k$ 。

想正解想了1h+没有想出来，于是写了一个 $O(n^2 log n)$ 做法，写了一个线段树维护最长相同连续子串，然后枚举 $\left [ l,r \right ]$ 看是否符合条件。

预期得分：55，实际得分：0

正解是大分讨

T3

题意：定义 $f(i)$ 为第 $i$ 种字母的所有连续段的最长长度，有一个字符串 $s$ ，其中每个字符是前 $k$ 个小写字母或 '?'，问用前 $k$ 个小写字母替换 $s$ 中所有 '?' 后 $min_{i = 1}^k f(i)$ 的最大值。

没怎么见过这种套路，想了45min，先去写T4了，最后只剩半个小时了，匆匆写了一个 $O(n^k)$ 的做法，用时15min。得分：10分。

正解是二分 + 状压dp

T4

题面http://oj.daimayuan.top/contest/367/problem/3246

写子任务1（15分），发现居然写不出来，写子任务2（25分），发现居然还是写不出来，写子任务3（25分），可做，写了一个树状数组，用时45min。

预期得分：25，实际得分：0

预期最终得分：100 + 55 + 10 + 25 = 190，实际最终得分：100 + 0 + 10 + 0 = 110

挂分分析

T2挂了15分，原因是枚举 $\left [ l,r \right ]$ 时 $l$ 应该从 $0$ 开始枚举，而我从 $1$ 开始枚举。

T4挂了25分，原因是从 $l$ 到 $r$ 的用时应为 $sum_{r - 1} - sum_{l - 1}$ ，而我写成了 $sum_r - sum_{l - 1}$ 。

进步空间

养成对拍的好习惯。

Day4

T1

题意：有 $n$ 个建筑，把第 $i$ 个建筑升到 $j$ 级可以获得 $\sum_{k =1}^j c_{i,k} (-10^9 \le c_{i,k} \le 10^9)$ ，如果所有建筑都在 $x$ 级以上，可以额外货获得 $d_x (-10^9 \le d_x \le 10^9)$ 分，问最多能得多少分。

想到 dp。

$dp_{i,j,0/1}$ 表示前 $i$ 个建筑每个建筑都在 $j$ 级以上是否有建筑刚好是 $j$ 级的最大分数。

转移：

$dp_{i,j,0} = dp_{i - 1,j,0} + max_{k = j}^m (\sum_{x = 1}^k c_{i,x})$
$dp_{i,j,1} = max(dp_{i - 1,j,1} + max_{k = j}^m (\sum_{x = 1}^k c_{i,x}),dp_{i-1,j,0} + \sum_{x = 1}^j c_{i,x})$

写了40min通过，得分：100

T2

题意：定义 $c_k = max \left \{ a_i \times b_j \right \}(i \ and \ j \ge k)$ ，求 $\sum_{i = 0}^{n - 1} c_i$ 。

观察了很久性质。

设 $d_k = max \left \{ a_i \times b_j \right \}(i \ and \ j = k)$

先考虑 $a_i,b_i \ge 0$ 的情况，此时 $d_k = max \ a_i(k \subseteq i) \times max \ b_j(k \subseteq j)$

不妨设 $x_i = max \ a_i(k \subseteq i), y_i = max \ b_j(k \subseteq j)$

可以推出如下转移 $x_i = max(a_i,max_{j = 0}^{log_n} x_{i\ or\ 2 ^ j}), y_i = max(b_i,max_{j = 0}^{log_n} y_{i\ or\ 2 ^ j})$

则 $d_k = x_k \times y_k$ 。

$a_i < 0$ 或 $b_i < 0$ 的情况同理。

最后 $c_k = max_{i = k}^{n - 1} d_i$

做了1h30min，负数的情况没有处理好，结束前3min发现，最后极限通过，得分：100

T3

题意：有一个长度为 $n$ 的数组 $a_1,a_2,...,a_n$ ，一次操作可以让一个子数组中的每个数字加上任意整数，问使数组中所有数字互不相同最少要进行多少次操作。

打了子任务1（对于 $1 \le i \le n$ ， $a_i = 1$ ）。

注意到 $\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil$ 一定能使数组中所有数字互不相同。

预期得分：9，实际得分：0

T4

题意：有 $n$ 个货物，第 $i$ 个货物重 $w_i$ ，货物会被按顺序放上卡车，只要不超过卡车的承重，这个货物就会被放上卡车。问如果要装 $k$ 个货物，卡车的承重至少需要多少，对于 $k = 1,2,...,n$ 输出答案。

想了很久如何用线段树实现正解，感觉很难写，放弃了。

打了子任务1（8分）和子任务4（8分），用时20min，得分：16

预期最终得分：100 + 100 + 9 + 16 = 225，实际最终得分：100 + 100 + 0 + 16 = 216

广告：正解

挂分分析

T3挂了9分，原因是 $\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil$ 写成了 $\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ 。不要直接根据样例猜结论。

进步空间

T3要多思考，可以拿下子任务2或更多。

T4思路其实和正解差不多，要勇敢尝试去实现。

Day5

T1

题面http://oj.daimayuan.top/contest/369/problem/3251

一眼看上去很像二分，但仔细看发现没有单调性，直接懵逼。仔细想发现暴力的复杂度是对的，1h写完，得分：100

T2

题面http://oj.daimayuan.top/contest/369/problem/3252

分讨 + 贪心题，写了1h，得分：100

T3

题意：有一个 $n$ 个点 $m$ 条边的带权无向图，有 $q$ 次询问，每次询问查询满足以下条件的 $(x,y)(1 \le x < y \le n)$ 个数：

存在一条从 $x$ 到 $y$ 的路径，路径上每一条边的边权 $c_j \ xor \ d \le k$

赛时想正解发现想不出来，打了 $O(mq)$ 的暴力，用时1h。

预期得分：20，实际得分：0

T4

题意：有一个仅由 $A$ 和 $B$ 组成的字符串 $S$ ，有两种操作：

花费 $x$ 的代价在 $S$ 的任意位置插入 $AB$
花费 $y$ 的代价在 $S$ 的任意位置插入 $BA$

问把 $S$ 变成 $T$ 的最小代价，无解输出 $-1$

想写 $x = y$ 的部分分，但没写明白，得分：0

预期最终得分：100 + 100 + 20 + 0 = 220，实际最终得分：100 + 100 + 0 + 0 = 200

挂分分析

T3挂了20分，原因是以为写的是 $O(mq)$ 的做法，但实际上是 $O(nq)$ 的。

Day6

T1

题意：他有 $n$ 种颜色的宝石，每种颜色有 $a_i$ 颗宝石，宝石展览方案的华丽值为 $\sum_{i=1}^n (v_i)^{c_i}$ ，其中 $c_i(0 \le c_i \le a_i)$ 为第 $i$ 种颜色的宝石展览的个数，问不同展览方式华丽值的总和。

注意到每种颜色的宝石可以分开算贡献，第 $i$ 种宝石的贡献为 $\sum_{j=1}^{a_i} C_{a_i}^j \times 2 ^ {\sum_{k \neq i} a_k}$ ，由二项式定理得原式为 $[(v_i + 1) ^ {a_i} - 1] \times 2 ^ {\sum_{k \neq i} a_k}$ ， $O(n)$ 进行求和即可。

用时30min，得分：100

T2

题意：求有多少个长度为 $2m$ 的序列 $A$ 满足 $A_i | n (1 \le i \le 2m)$ 且 $\prod A_i \le n^m$ 。

写了一个 $O(d(n)^{2m})$ 的 dfs 做法，用时15min

预期得分：40，实际得分：20

正解：注意到满足 $\prod A_i < n^m$ 的个数与满足 $\prod A_i > n^m$ 的个数相同，所以只需要统计总个数和满足 $\prod A_i = n^m$ 的个数即可。

T3

题面http://oj.daimayuan.top/contest/370/problem/3257写了一个 $O(2^nn^2)$ 的做法，用时20min，得分：25

T4

题意：有一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，第 $i$ 条边连接 $a_i$ 和 $b_i$ ，长度为 $c_i$ ，问有多少条边满足在被删除之后 $1$ 到 $n$ 的最短路长度恰好加 $1$

从 $1$ 和 $n$ 分别跑 $dijkstra$ ，算出 $dis_1$ 和 $dis_n$ ，将 $1$ 到 $n$ 最短路径上的边记录在 $E$ 中，接着记 $pre_i$ 为 $dis_1[i]$ 经过的边中属于 $E$ 的边数， $suf_i$ 为 $dis_n[i]$ 经过的边中属于 $E$ 的边数。枚举不属于 $E$ 中的边 $(u,v,w)$ ，若 $dis_1[u] + w + dis_n[v] = dis_1[n] + 1$ ，则 $E$ 中前 $pre_u$ 个边之后，后 $suf_v$ 个边之前的边都是可以被删除的，将满足条件的边统计一下即可。