2025 CSP-S 模拟赛 Day 18 复盘

T1

题意

你有一个由字符 $A,B,C,D$ 组成的字符串 $S$。
每次操作，你可以选择三个连续的字符并进行变换。可行的变换有四种：
$ABC\to CBA$
$CBA\to ABC$
$BCD\to DCB$
$DCB\to BCD$
求 $S$ 能够通过操作得到多少种不同的字符串。

解法

发现只能交换 A 和 C，以及 B 和 D。因此可以将 A、C 视为同一类，B、D 视为另一类。
当两个相邻位置属于同类时，它们不会相互影响，可以将其切分。此时总方案数即为各段方案数的乘积。
对于每一段，假设奇数位置为 A,C，偶数位置为 B,D。由于 A 和 D 无法交换，它们的相对顺序是固定的。
因此，每段内的方案数转化为：在奇数位置中选择若干位置放置 A，在偶数位置中选择若干位置放置 D，同时保持所有 A 和 D 的相对顺序不变。这一过程可通过组合数计算得到。
最终总时间复杂度为 $O(n)$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6;
const int p = 1e9 + 7;

ll ksm(ll a,ll b){
	ll ans = 1;
	while(b){
		if(b & 1)
			ans = ans * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll fac[N + 31],inv[N + 31];
void init(){
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= N + 1;i++)
		fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
	inv[N + 1] = ksm(fac[N + 1],p - 2);
	for(int i = N;i >= 0;i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p;
}
ll C(int a,int b){
	if(b > a)
		return 0;
	return fac[a] * inv[b] % p * inv[a - b] % p;
}
char s[N + 31];
int n,c[N + 31];

int calc(int l,int r){
	int tmp = 0,sum = 0;
	for(int i = l;i < r;i++)
		if((s[i] == 'B' && s[i + 1] == 'C') || (s[i] == 'C' && s[i + 1] == 'B'))
			tmp++, i++;
	for(int i = l;i <= r;i++)
		if(s[i] == 'B' || s[i] == 'C')
			sum++;
	return C(r - l + 1 - sum + tmp,tmp);
}

void solve(){
	scanf("%s",s + 1);
	n = strlen(s + 1);
	ll ans = 1;
	for(int l = 1,r = 1;l <= n;l = r){
		while(r < n && ((s[r] - 'A') & 1) != ((s[r + 1] - 'A') & 1))
			r++;
		ans = ans * calc(l,r) % p;
		r++;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
	init();
	int t; scanf("%d",&t);
	while(t--) solve();
}

T2

题意

有一个可重集 $S$，最初，$S$ 中只有 $n$ 个 $1$。
你可以执行如下操作：

• 选择集合中的 $2$ 个元素 $x,y(x\le y)$
• 删除元素 $x,y$
• 加入元素 $2x,y-x$

构造一种方案使集合中的非零元素个数最少。

解法

当 $n=2^k$ 时，显然可以通过 $2^k-1$ 轮合并始集合中只剩 $1$ 个非零元素 $2^k$。
考虑一般情况，不妨设 $n=2^{k_1}+2^{k_2}+...+2^{k_m}(k_1>k_2>...>k_m,m\le \log n)$，通过上述方法可以将集合变为 {2k1,2k2,...,2km}\lbrace 2^{k_1}, 2^{k_2}, ... , 2^{k_m} \rbrace{2k1​,2k2​,...,2km​}，此时令 $x=2^{k_m},y=2^{k_1}$，一次操做可以使 $x=x\times 2$，当 $x=2^{k_i}(1<i<m)$ 时，可以将其消掉。因为 $({\sum }_{i=2}^m{2}^{k_i})<2^{k_1}$，所以 $y$ 始终大于 $x$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pdd;
const int N = 1e6 + 31;

int n;
vector<pdd> ans;
vector<int> v;

void solve(){
	scanf("%d",&n);
	ans.clear(); v.clear();
	for(int i = 30;i >= 1;i--)
		if(n & (1 << i)){
			for(int j = 1;j <= i;j++)
				for(int k = (1 << (i - j));k >= 1;k--)
					ans.push_back(pdd((1 << (j - 1)),(1 << (j - 1))));
			v.push_back((1 << i));
		}
	if(n & 1)
		v.push_back(1);
	while(v.size() > 2){
		int x = v.back(); v.pop_back();
		while(x < v.back()){
			ans.push_back(pdd(x,v[0]));
			v[0] -= x; x *= 2;
		}
		ans.push_back(pdd(x,v.back()));
		v.pop_back(); v.push_back(x * 2);

	}
	printf("%d\n",ans.size());
	for(auto [u,v] : ans)
		printf("%d %d\n",u,v);
}

int main(){
	int t = 1; //scanf("%d",&t);
	while(t--) solve();
}