Dijkstra算法原理及代码实现(c++版)

最新推荐文章于 2024-08-10 22:54:51 发布

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本文深入解析了迪杰斯特拉算法，一种用于求解图中单源点到其他所有点最短路径的经典算法。文章详细阐述了算法的基本思想、适用条件、实现步骤，并提供了完整的代码实现案例，帮助读者理解算法的运作机制。

1 算法简介

算法任务：求图G中一源点C到其他所有点的最短路径的算法

基本思路：将图G中的点(记为集合V)分为两部分，已找到最短路径的点集S与尚未找到最短路径的点集 $\overline{S}$ (=V-S)。按到源点C由近到远的顺序，逐个将 $\overline{S}$ 中离源点C最近的点加入点集S，直到将所有的点都加入S，算法完成。

使用条件：边权不为负的连通图(有向无向均可)

2 算法原理

问题描述：求下图(记为图G)从点 $V_{0}$ 到其他点的最短路径(用dis[n]存储，n为图中点的总数，dis[i]代表点 $V_{i}$ 到 $V_{0}$ 的最短路径除了dis[n]之外，还需要这定义这几个变量:

矩阵edge[n][n]:使用邻接表方式来存储带权图，数组visit[n]:记录点 $V_{i}$ 是否已经找到最短路径(true表示已找到，false表示未找到)

解答步骤：按照初始化，循环体，结束条件三步进行描述，符合代码实现的要求

1）初始化

由于已经确定了源点是 $V_{0}$ ，那么现在可以初始化得到dis[0]=0,visit[0]=true

已找到最短路径的点集S中仅含 $V_{0}$ 一个点(S={ $V_{0}$ })，此时 $\overline{S}$ 中的点要与S中的点建立路径，只能通过与 $V_{0}$ 相连。

与 $V_{0}$ 直接相连的点为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ，则初始化的dis[n]={ 0 , 1 , 5 ,INF,INF,INF,INF,INF,INF}

2）循环体

首先将目前的dis[n]中距离最小的点加入点集S，目前S={ $V_{0}$ ， $V_{1}$ }，比起之前，我们多了一个S与 $\overline{S}$ 之间点建立路径的中介：点 $V_{1}$

然后更新dis[n]，因为多了一个中介点，所以我们可以通过 $V_{0}$ $\rightarrow$ $V_{1}$ $\rightarrow$ 其他点来建立新的路径，与 $V_{1}$ 直接相连的为 $V_{2}$ ， $V_{3}$ ， $V_{4}$ ，那么通过中介点 $V_{1}$ ，dis[n]={ 0 , 1 ,dis[1]+edge[1][2]=4 , dis[1]+edge[1][3]=8 ,dis[1]+edge[1][4]=6,INF,INF,INF,INF}，再与上一步的dis[n]比较，dis[n]={ 0 , 1 , 5 ,INF,INF,INF,INF,INF,INF}，比较这两个dis[n]，保留相同点距离源点距离更小的那条路径。

则这一步更新得到的dis[n]={0 , 1 , 4,8,6,INF,INF,INF,INF}。

3）进行一次循环

首先将目前的dis[n]中距离最小的点加入点集S，目前S={ $V_{0}$ ， $V_{1}$ ， $V_{2}$ }，比起之前，多了一个S与 $\overline{S}$ 之间点建立路径的中介：点 $V_{2}$

然后更新dis[n]，只需要比较 $V_{0}$ $\rightarrow$ 其他点和通过 $V_{0}$ $\rightarrow$ $V_{2}$ $\rightarrow$ 其他点的路径，保留距离更小的路径即完成更新。

4）结束条件

点集S包含图G内的所有点。用上面已定义的变量表示就是visit[n]全部为true。

3 代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
const int INF = 99999;
int main() {
	int edge[9][9] = {
			{ 0 , 1 , 5 ,INF,INF,INF,INF,INF,INF},
			{ 1 , 0 , 3 , 7 , 5 ,INF,INF,INF,INF},
			{ 5 , 3 , 0 ,INF, 1 , 7 ,INF,INF,INF},
			{INF, 7 ,INF, 0 , 2 ,INF, 3 ,INF,INF},
			{INF, 5 , 1 , 2 , 0 , 3 , 6 ,INF,INF},
			{INF,INF, 7 ,INF, 3 , 0 ,INF, 5 ,INF},
			{INF,INF,INF, 3 , 6 ,INF, 0 , 2 , 7 },
			{INF,INF,INF,INF, 9 , 5 , 2 , 0 , 4 },
			{INF,INF,INF,INF,INF,INF, 7 , 4 , 0 }
	};
	int dis[9]; fill(dis, dis + 9, INF);
	bool visit[9]; fill(visit, visit + 9, false);
	//对应步骤1）：初始化
	int c1 = 0;
	dis[c1] = 0;

	//最外层循环对应步骤3）：结束条件，把n个点均放入点集S
	for (int i = 0; i < 9; i++) {

		//这一层循环对应步骤2）：循环体中的寻找当前dis[n]中距离最小的点加入点集S
		int mind = INF, u = -1;
		for (int j = 0; j < 9; j++) {
			if (visit[j] == false && dis[j] < mind) {
				u = j;
				mind = dis[j];
			}
		}
		if (u == -1) break;
		visit[u] = true;
		//这一层循环对应步骤2）：循环体中的更新dis[n]步骤
		for (int v = 0; v < 9; v++) {
			if (visit[v] == false && edge[u][v] < INF) {
				if (dis[u] + edge[u][v] < dis[v]) {
					dis[v] = dis[u] + edge[u][v];
				}
			}
		}
	}
	for (int i = 0; i < 9; i++)
		cout << dis[i] << ' ';

	system("pause");
	return 0;
}

运行结果：