BZOJ 2434 [NOI 2011] 阿狸的打字机

最新推荐文章于 2019-02-13 19:26:29 发布

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本文深入探讨了AC自动机在字符串匹配问题中的应用，通过一道典型题目，详细讲解了如何利用AC自动机优化多字符串匹配过程，降低时间复杂度，实现高效算法。

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AC自动机可食用最佳练手题

题意

有三种操作
* 在字符串的末尾加入小写字母
* 删除字符串末尾的字符
* 将当前字符串输出（不删除）

问第 $x$ 个输出的字符串在第 $y$ 个输出的字符串中出现了几次

Solution

当然直接暴力是没有问题的
存下第 $x$ 个输出的字符串然后用 KMP 优化匹配
时间复杂度可以达到 $O(ML)$ ，仍然会超时

既然需要对多个字符串进行匹配，自然的我们想到 AC自动机（后缀自动机的泥奏凯）

发现如果第 $x$ 个输出的字符串在第 $y$ 个字符串的 $n$ 位置匹配，那么第 $x$ 个输出的字符串一定是第 $y$ 个字符串的 $n$ 位置的后缀，即可以通过 $fail$ 指针转移到
那么原题就转换为了在第 $y$ 个字符串中有多少个字符能够通过 $fail$ 转移到第 $x$ 个字符串的结尾位置

但是直接做时间复杂度仍然很高
我们需要枚举每个 $y$ 串，维护一个计数器，从根一路遍历到 $y$ 串的末尾节点，途中对于每个节点，如果其 $fail$ 指针指向的是某 $x$ 串的末尾节点，则累加
这个时间复杂度还是 $O(ML)$ ,无法通过此题

看到多个点通过 $fail$ 上找一个点，为何不将其转化为一个点通过 $fail$ 找其他点呢？
那么将 $fail$ 反向，问题变为 $x$ 串的结尾位置能够通过反向的 $fail$ 到达多少属于 $y$ 的节点

考虑进一步优化，再这样一棵由反向 $fail$ 组成的树上，每个节点所能到达的点一定在它的子树之中，可以使用 DFS 序维护，同时用树状数组求答案

如何统计？
只需要重新按照原来输入再走一遍，每次遇到加入某个节点，则加入当前节点的 DFS 序；每次删除某个节点，则删除当前节点的 DFS 序；每次输出某个串，说明现在树状数组维护的就是这个串所有节点的 DFS 序，那么就可以统计这个串作为串的答案了

详细代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int m , tot , l[N] , r[N] , t[N] , ans[N];
char s[N];
vector <int> e[N];
vector <pair<int , int>> q[N];
void add(int , int);
int query(int);
struct Aho {
    int ch[N][26] , fail[N] , fa[N] , id[N] , go[N];
    int cnt , total;
    void build() {
        int n = strlen(s) , now = 0;
        for(int i = 0 ; i < n ; ++ i) {
            if(s[i] == 'B') now = fa[now];
            else if(s[i] == 'P') {id[++ total] = now; go[now] = total;}
            else {
                if(!ch[now][s[i] - 'a']) {
                    ch[now][s[i] - 'a'] = ++ cnt;
                    fa[cnt] = now;
                }
                now = ch[now][s[i] - 'a'];
            }
        }

        queue <int> q;
        for(int i = 0 ; i < 26 ; ++ i)
            if(ch[0][i]) {
                q.push(ch[0][i]);
                e[0].push_back(ch[0][i]);
            }
        while(!q.empty()) {
            int x = q.front(); q.pop();
            for(int i = 0 ; i < 26 ; ++ i) {
                if(ch[x][i]) {
                    q.push(ch[x][i]);
                    fail[ch[x][i]] = ch[fail[x]][i];
                    e[ch[fail[x]][i]].push_back(ch[x][i]);
                }
                else ch[x][i] = ch[fail[x]][i];
            }
        }
    }
    void get_ans() {
        int n = strlen(s) , now = 0;
        for(int i = 0 ; i < n ; ++ i) {
            if(s[i] == 'B') {add(l[now] , -1); now = fa[now];}
            else if(s[i] == 'P') {
                for(auto j = q[go[now]].begin() ; j != q[go[now]].end() ; ++ j)
                    ans[j -> second] = query(r[id[j -> first]]) - query(l[id[j -> first]] - 1);
            }
            else {
                now = ch[now][s[i] - 'a'];
                add(l[now] , 1);
            }
        }
    }
}ac;
int read() {
    int ans = 0 , flag = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch > '9' || ch < '0') {if(ch == '-') flag = -1; ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9') {ans = ans * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return ans * flag;
}
int lowbit(int x) {return x & (-x);}
void add(int x , int y) {if(x) for(int i = x ; i <= tot ; i += lowbit(i)) t[i] += y;}
int query(int x) {int ans = 0; if(x) for(int i = x ; i ; i -= lowbit(i)) ans += t[i]; return ans;}

void dfs(int x) {
    l[x] = ++ tot;
    for(auto i = e[x].begin() ; i != e[x].end() ; ++ i) dfs(*i);
    r[x] = tot;
}
void init() {
    scanf("%s" , s);
    m = read();
    for(int i = 0 ; i < m ; ++ i) {
        int x = read() , y = read();
        q[y].push_back({x , i});
    }
}
void work() {
    ac.build();
    dfs(0);
}
void print() {for(int i = 0 ; i < m ; ++ i) printf("%d\n" , ans[i]);}
int main() {
    init();
    work();
    ac.get_ans();
    print();
    return 0;
}