KMP算法详解

最新推荐文章于 2019-11-17 14:07:36 发布

原创最新推荐文章于 2019-11-17 14:07:36 发布 · 272 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#KMP

【字符串】KMP 专栏收录该内容

1 篇文章

订阅专栏

本文深入讲解KMP算法的原理及实现过程，包括前后缀匹配的概念、nxt数组的意义及其求解方法，通过具体实例帮助读者理解算法的工作流程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

直接进入正题

定义 $nxt[i]$ 为 $t[0] -- t[i - 1]$ 中前后缀匹配最长长度，即，有最大长度为 $nxt[i]$ 的相同前缀后缀， $t[0] -- t[nxt[i] - 1]$ 分别和 $t[i - nxt[i]] -- t[i - 1]$ 一一匹配

算法流程：

假设现在文本串 S 匹配到位置，模式串 T 匹配到位置
- 如果当前字符匹配成功（即 $s[i] = t[j]$ ) , $i , j$ 自增，匹配下一个字符
- 如果当前字符匹配失败（即 s[i]≠t[j] )，显然 i 不变，而
  - 为什么这么跳是合法的？因为已经匹配了 $j - 1$ 个
  - 也就是说 $s[i - j] -- s[i - 1]$ 已经和 $t[0] -- t[j - 1]$ 一一匹配
  - 而且 $t[0] -- t[nxt[j] - 1]$ 又与 $t[i - nxt[j]] -- t[j - 1]$ 一一匹配
  - 所以显然 $s[i - nxt[j]] -- s[i - 1]$ 和 $t[0] -- t[nxt[j] - 1]$ 一一匹配
  - 所以原来的 $j -> nxt[j]$ 下次直接匹配 $i$ 和 $nxt[j]$

观察仔细的人可能已经发现，如果一直不匹配到 $j = 0$ 时，仍然不匹配，就会陷入死循环。所以我们将 $nxt[0]$ 拿出来设为 $-1$

所以当我们求出 $nxt$ 数组之后，它提供的跳跃功能能够大大减少时间复杂度

如何求 $nxt$ 数组？

$nxt$ 数组考虑的是除当前字符外的最长相同前后缀，其实就是求出以每个点为结尾的最长相同前后缀向后移动一位，并将第零个位置设为 $-1$

根据上面匹配的方法，发现可以用来求 $nxt$ 数组

假设我们已经求出了前 i 位的，当前处理第 i 个字符，求第位的 nxt （想想为什么），且j=nxt[i]
- 如果当前字符匹配成功（即 $t[j] = t[i]$ )，当前匹配长度为 $j + 1$ ，即 $nxt[++ i] = ++ j$
- 如果当前字符匹配失败（即 t[j]≠t[i] )，那么 j 向前跳，即
  - 请通过上面匹配的原理证明这样求得 $nxt$ 方法的正确性

具体代码如下：

//s为模板串，t为匹配串
int ls = strlen(s) , lt = strlen(t);
i = 0 , j = -1;
nxt[0] = -1;
while(i < lt) {
    if(j == -1 || t[i] == t[j]) nxt[++ i] = ++ j;
    else j = nxt[j];
}
i = j = 0;
while(i < ls) {
    if(j == -1 || s[i] == t[j]) {++ i; ++ j;}
    else j = nxt[j];
    if(j == lt) {printf("%d\n" , i - lt + 1) , j = nxt[j];}
}

小优化
观察发现假如在匹配时，当 $s[i] \neq t[j]$ 时，下一次匹配必然是 $s[i]$ 和 $t[nxt[j]]$ 。假设 $t[j] = t[nxt[j]]$ ，显然匹配会再次失败，所以需要使得 $t[j] \neq t[nxt[j]]$

代码如下：

nxt[0] = -1;
while(i < lt) {
    if(j == -1 || t[i] == t[j]) {
        ++ i; ++ j;
        if(t[i] != t[j]) nxt[i] = j;
        else nxt[i] = nxt[j];
    }
    else j = nxt[j];
}