Equilibrium Mobile（UVA 12166）

原创于 2024-03-27 12:08:46 发布 · 366 阅读

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#c++ #图论 #算法

文章讲述了如何通过优化算法解决一个关于深度限制的二叉树问题，即在保证天平平衡的前提下，最少修改秤砣重量。作者发现通过将不同深度的节点值降至最低深度进行计算，简化了问题，只需要修改原节点值即可。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

网址如下：

Equilibrium Mobile - UVA 12166 - Virtual Judge (vjudge.net)

（第三方网站）

很骚的一题，让我对二叉树有了新的认知

简单来说就是给一个深度不超过16的二叉树，代表一个天平。每根杆都悬挂在中间，每个秤砣的重量已知。至少修改多少个秤砣的重量才能让天平平衡？

虽然给的树都是正整数，但是修改的重量可以是浮点数

天平的图片可以看网址里面的

代码如下：

#include<cstdio>
#include<list>
#include<map>
#include<cctype>
#include<cmath>
using namespace std;
const double EPS = 1e-6;
struct Node{
    double v;
    int depth;
    Node(double v, int depth):v(v), depth(depth){}
};

int main(void)
{
    int kase; scanf("%d", &kase); getchar();
    while(kase--){
        map<double, int> s;
        list<Node> l;
        int d{}, maxd{}; char c;
        double ext{};
        //输入
        while((c = getchar()) != '\n'){
            if(isdigit(c)) ext = ext * 10.0 + c - '0';
            else{
                if(ext){l.push_back(Node(ext, d)); ext = 0.0;}
                if(c == '[') d++;
                else if(c == ']') d--;
                maxd = (maxd > d) ? maxd : d;
            }
        }
        if(ext) l.push_back(Node(ext, d));
        //处理
        int maxn = 0;
        for(auto it = l.begin(); it != l.end(); it++){
            double val = it->v / pow(2.0, maxd - it->depth);
            if(s.count(val)) s[val]++;
            else s[val] = 1;
            maxn = (maxn > s[val]) ? maxn : s[val];
        }
            
        //输出
        printf("%d\n", l.size() - maxn);
    }

    return 0;
}

我刚开始一直在想：这不是要尽可能地使相邻层的重量相差一倍嘛，但是这要怎么搞？

如果一个一个试着改变的话，我估计大概率会超时，而且很麻烦

最后是想出了这个办法：

使二叉树不同深度的地方全部降到最低深度，因为天平两边的杆相同，所以是每下降一层就除2

公式：

double val = it->v / pow(2.0, maxd - it->depth);
//it指向当前结点，val是下降后的值，v是原来的值，maxd是最大深度，depth是当前结点的深度

然后就是求一堆数中，至少要修改多少个数的值，才能使所有数相等

这很简单

但是为什么会转化成这样？

因为对于下降过后的结点，如果更改这个下降后的结点的值一次，就是更改原来的结点的值一次

而对于同一个结点下降后虽然会分成多个结点，但是这些下降后的结点的值都是相等的，而改变所有这些下降后的结点（归属同一个原来的结点）的值，只需要改变一次原来的结点的值就行了，所以干脆把这些结点变成一个结点看待

具体实现看我代码