简单递推 - 动态规划 - 百度2016研发工程师编程题 - 蘑菇阵

最新推荐文章于 2021-07-19 20:29:49 发布

原创最新推荐文章于 2021-07-19 20:29:49 发布 · 635 阅读

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#动态规划 #工程师 #百度 #编程 #研发

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本文介绍了一个有趣的问题：在一片长有蘑菇的n*m草地中，从左上角走到右下角，每步随机选择方向，求不碰到蘑菇走到终点的概率。通过计算总的路径数和不踩蘑菇的路径数，利用动态规划的方法给出了解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：[点这儿].

题目：

现在有两个好友A和B，住在一片长有蘑菇的由n*m个方格组成的草地，A在(1,1),B在(n,m)。现在A想要拜访B，由于她只想去B的家，所以每次她只会走(i,j+1)或(i+1,j)这样的路线，在草地上有k个蘑菇种在格子里(多个蘑菇可能在同一方格),问：A如果每一步随机选择的话(若她在边界上，则只有一种选择)，那么她不碰到蘑菇走到B的家的概率是多少？

解析：

如果知道(1,1)到(n,m)总有多少条路径和不踩蘑菇有多少条路径这个题就解出来了，因此，这题转化为求路径数.

但是有个问题，比如到右边界的时候，本来它可以向下或向右走，但是向右走不通，因此啊，向右走的那个分支就都会向下走，也就是说，向下会走两次，这个地方要特别注意，很多做过的同学都说按路径走不行，其实是可以的，只不过他们没有完全理解这个边界而已。

根据上面的解析，我们就可以得出状态转移方程了：
$⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ d e n o m i n a t o r i, j = (j = = m ? 2 : 1) * d e n o m i n a t o r i - 1, j + (i = = n ? 2 : 1) * d e n o m i n a t o r i, j - 1 n u m e r a t o r i, j = m p i, j ? 0 : (j = = m ? 2 : 1) * n u m e r a t o r i - 1, j + (i = = n ? 2 : 1) * n u m e r a t o r i, j - 1$ $\left \{ \begin{array}{l} &denominator_{i,j}= (j == m ?\quad 2 : 1) * denominator_{i-1,j}+ (i == n ?\quad 2 : 1) * denominator_{i,j-1}\\\\ &numerator_{i,j}= mp_{i,j} ?\quad 0 : (j == m ?\quad 2 : 1) * numerator_{i-1,j}+ (i == n ? \quad2 : 1) * numerator_{i,j-1} \end{array} \right.$

denominator[i][j]表示总共的路径数，numerator[i][j]表示不踩蘑菇的路径数.

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
    int n, m, k;
    while (cin >> n >> m >> k) {
        vector<vector<LL> > mp(n + 1, vector<LL>(m + 1, 0)), numerator(mp), denominator(mp);
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            int x, y;
            cin >> x >> y;
            mp[x][y] = 1;
        }
        numerator[0][1] = denominator[0][1] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                denominator[i][j] = (j == m ? 2 : 1) * denominator[i - 1][j] + (i == n ? 2 : 1) * denominator[i][j - 1];
                numerator[i][j] = mp[i][j] ? 0 : (j == m ? 2 : 1) * numerator[i - 1][j] + (i == n ? 2 : 1) * numerator[i][j - 1];
            }
        }
        printf("%.2f\n", numerator[n][m] * 1.0 / denominator[n][m]);
    }
    return 0;
}