洛谷P1616 疯狂的采药

本文深入解析了完全背包问题,一种常见的计算机科学与算法竞赛中的优化问题。通过对比01背包,详细介绍了完全背包的解题思路与代码实现,适合对算法感兴趣的学习者。

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疯狂的采药

题目链接-疯狂的采药
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解题思路
题面里 无限制 说明是完全背包;
该题由P1048采药改编而来,采药为01背包板子题,有兴趣的同学可以去做一下。

  • 完全背包模板题面
    设有n种物品,每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的,同时有一个背包,最大载重量为M,今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以无限选取),使其重量的和小于等于M,而价值的和为最大。
  • 完全背包板子
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=w[i];j<=V;j++)
        f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);

与01背包的不同点,01背包是从m到h[i],而完全背包是反过来正序循环,因为我们需要递推的是当前更新后发生改变的状态。所以要正序求解。

附上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int INF=0x3f3f3f;
int a[10010],b[10010];
int dp[100010];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
 
	int t,m;
	cin>>t>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
 		cin>>a[i]>>b[i];
 	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=a[i];j<=t;j++)
   			dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+b[i]);
 	}
	cout<<dp[t]<<endl;
	return 0;
}
### 洛谷 P1048 采药 的代码实现与解题思路 #### 解题背景 洛谷 P1048 是一道经典的 **0-1 背包问题**,题目描述为:给定一定的时间 `T` 和若干种草药 `(wi, vi)`,每种草药有一个采集时间 `wi` 和价值 `vi`。求在不超过总时间的情况下,能够获得的最大价值。 --- #### 动态规划的核心思想 该问题可以通过动态规划解决。定义状态 `dp[i][j]` 表示从前 `i` 种草药中选取,在剩余时间为 `j` 的情况下可以获得的最大价值。其状态转移方程为: \[ dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j],& 若 j < w_i \\ \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i]+v_i),& 若 j \geq w_i \end{cases} \] 其中: - 如果当前草药无法被选入,则继承之前的状态; - 否则取两种情况中的较大值:不选择当前草药或选择当前草药后的最大价值。 此过程可以用二维数组完成,也可以进一步优化为空间复杂度更低的一维数组形式[^3]。 --- #### 完整代码实现 以下是基于一维数组优化的 C++ 实现版本: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int T, N; cin >> T >> N; // 输入总时间和草药品种数量 int weight[N + 1], value[N + 1]; for (int i = 1; i <= N; ++i) { cin >> weight[i] >> value[i]; // 输入每种草药的重量和价值 } int dp[T + 1]; // 使用一维数组存储 DP 值 fill(dp, dp + T + 1, 0); // 初始化为 0 for (int i = 1; i <= N; ++i) { // 枚举每一种草药 for (int j = T; j >= weight[i]; --j) { // 反向更新以避免重复计算 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } } cout << dp[T]; // 输出最终结果 return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **初始化** 数组 `dp[]` 初始全设为零,代表没有任何物品时的价值也为零[^4]。 2. **反向遍历** 在处理每一类草药时采用倒序遍历的方式(即从大到小),防止同一草药多次加入背包的情况发生[^3]。 3. **边界条件** 当剩余容量不足以放入某件商品时 (`j < wi`) ,直接跳过;否则比较是否应该将这件商品纳入考虑范围之内并更新对应位置上的最优解[^1]。 --- #### 时间与空间复杂度分析 - **时间复杂度**: O(N * T),因为需要双重循环分别枚举每一个物品以及可能使用的全部容量。 - **空间复杂度**: 经过优化后仅需额外开辟大小等于目标容量加一的空间即可满足需求,因此为O(T)[^4]。 ---
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