LeetCode刷题笔记53:最大子序和(Python实现)

题目描述：

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

Solution1：暴力破解（超时）

两个for循环，第一个控制子序列最左端的数，第二个控制子序列最右端的数。为防止一种特殊情况：结果为一个数且前一个数为负数，例如[-2,1],在nums最后添加一个0。时间复杂度为O(N^2)

CODE:

class Solution:
    def maxSubArray(self,nums):
        '''
        
        :param nums: list[int]
        :return: int
        '''
        nums.append(0)
        maxsum = nums[0]
        if len(nums)<=1:
            maxsum = nums[0]
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i + 1, len(nums)):
                if sum(nums[i:j]) > maxsum:
                    maxsum = sum(nums[i:j])
        return maxsum

Solution2:动态规划：

每往下加一个数要判断是否对于当前和构成增加或减小的影响，即判断nums[i]是否为负数，同时也要判断当前和与nums[i]的大小，若nums[i]大，说明当前和为负，则舍去当前和，将nums[i]作为当前和。然后再把当前和与当前最大和作比较。时间复杂度为O(N).

执行用时 : 68 ms, 在Maximum Subarray的Python提交中击败了89.73% 的用户

内存消耗 : 12.1 MB, 在Maximum Subarray的Python提交中击败了42.34% 的用户

CODE:

    def maxSubArray2(self,nums):
        '''
        
        :param nums: list[int]
        :return: int
        '''
        if len(nums) <= 1:
            return nums[0]
        cur_sum = nums[0]
        max_sum = nums[0]
        for i in range(1,len(nums)):
            cur_sum = max(nums[i],cur_sum + nums[i])
            max_sum = max(max_sum,cur_sum)

        return max_sum

Solution3:分治：

分治算法就是大事化小，小事化了。将大问题分解为小问题，然后最后合并。这个题目中，最大子序列和无非存在三种情况：

设最大子序列为nums[i:j]
1,当最大子序列存在于数列中点左端，即：i<j<len(nums)/2
2,当最大子序列存在于数列中点右端，即：len(nums)/2<i<j
3,当最大子序列跨过左右两端，即i<len(nums)/2<j

因此，在这三种情况分别找出最大子序列，然后再将三种情况取最大值即为整个数列的最大子序列。需要注意的是，第三种情况由两部分组成：一部分是中点左端的子序列，一部分是中点右端的，同样各自需要求最大子序列。

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        n = len(nums)
        # 递归终止条件
        if n == 1:
            return nums[0]
        else:
            max_left = self.maxSubArray(nums[0:len(nums) // 2])
            max_right = self.maxSubArray(nums[len(nums) // 2:len(nums)])
        max_l = nums[len(nums) // 2 - 1]
        cur_sum = 0
        for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
            cur_sum += nums[i]
            max_l = max(cur_sum, max_l)
        max_r = nums[len(nums) // 2]
        cur_sum = 0
        for i in range(len(nums) // 2, len(nums)):
            cur_sum += nums[i]
            max_r = max(cur_sum, max_r)
        return max(max_left,max_right,max_l+max_r)