卷积神经网络（二）：Softmax损失以及反向传播导数推导

Softmax与交叉熵

Softmax函数如下：

$$P_k=\frac{e^{θ_kx}}{\sum_{j=0}^de^{θ_jx}}$$
其中，Pk对应输出层第k个神经元的输出，也就是预测为第k类的概率,d表示输出层神经元总数
其损失函数(交叉熵)如下：
$$J(θ)=-\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^dI(label(i)==k)lnP_i$$
其中，label(i)表示第i个样本的标签为第几类，I(label(i)==k)判断第i个样本的标签是否为k，若是值为1否则值为0

Softmax对反向传播推导

Softmax反向传播求导主要使用链式求导法则，因此我们只需要从输出层开始逐层倒推即可。
博主为了简便期间，先只讨论一般的神经网络情况（只存在全连接层，无卷积，池化层）

对前一层神经元输出的求导

在这里我们将Softmax层展开，如果前一层的输出（卷积神经网络中通常是全连接层）是X,那么记θX=Y，

$$P_k=\frac{e^{y_k}}{\sum_{j=0}^de^{y_j}}$$
根据链式求导法则，要求出Loss对y的偏导那就可以继续求Loss对x的偏导。

Loss对y的偏导分为两种情况，1:对于第i个样本的第label(i)个y的偏导

2.对非标签对应项的y的偏导，如果记为b

总的来说可以归纳为：

$$\frac{ΔJ_θ}{Δy_k}=-\sum_{i=0}^n\frac{1}{n}[I(label(i)==k)-P_{k,i}]$$

因此

$$\frac{ΔJ_θ}{Δx_m}=-\sum_{j=0}^d\sum_{i=0}^n\frac{ΔJ_θ}{Δy_k}\frac{Δy_k}{Δx_m} =-\sum_{j=0}^d\{\sum_{i=0}^n\frac{1}{n}[I(label(i)==j)-P_{j,i}]*θ_{m,j}\}$$

对更前的层的输出的求导

核心原理：
同样使用链式法则倒推，假设要求得某一层某个神经元z的导数则：

$$\frac{ΔJ_θ}{Δz}=-\sum_{j=0}^D\sum_{i=0}^n\frac{ΔJ_θ}{Δx_j}\frac{Δx_j}{Δz}$$
其中，我们假设了$x_0$到$x_D$都是z神经元在前向传播过程中参与计算了的（也就是说倘若把x的表达式用z对应的层的神经元展开，则$x_0$到$x_D$是全部z参与运算得到的x，毕竟只有z参与运算才有x对z的导数）
公式表述：
为了能够简洁的表示损失对某一神经元或者权重的求导，一般记敏感度$δ_j^l$为损失J对第l层的某个神经元j激活前的输出的偏导
可以写成如下公式：

其中$W_{ij}^l$表示第l层第i个神经元连接第l+1层第j个神经元的权值，$X_i^l$表示第l层的第i个输入，$S_j^l$表示第l层的第i个输出，f(x)表示激活函数
敏感度通过(2)式方向传播，而对权值的偏导数可以如(1)式通过敏感度求得
（以上(1),(2)两个公式都是只考虑一个样本的情况，否则还要加一个求和）

对于卷积神经网络

对于卷积神经网络的求导原理与上述情况一样，由于有卷积和池化层的存在，下一层会存在大量的与上一层无关的神经元，因此敏感度反向传播方式类似于反卷积的过程，由于原理已经掌握，而且在实践中都是由深度学习框架实现，在此就不再详述，感兴趣的可以自己查找其他博客。