【学习笔记】重链剖分

【学习笔记】重链剖分

 

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关于树链剖分

树链剖分，指一种对树进行划分的算法，它先通过轻重边剖分将树分为多条链，保证每个点属于且只属于一条链，然后再通过数据结构来维护每一条链。

树链剖分其实分三种：重链剖分，长链剖分，实虚链剖分$（$$\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{T}$$）$。
所以，为了使整体显得更有条理（其实是我还没学完 ），我就分开写了。
 

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重链剖分能做什么

1. 求最近公共祖先$\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{A}$
2. 修改节点 $x$ 到节点 $y$ 的最短路径上的所有节点$/$边的权值。
3. 修改以节点 $x$ 为根的子树中的所有节点$/$边的权值。
4. 查询节点 $x$ 到节点 $y$ 的最短路径上的所有节点$/$边的权值和或极值。
5. 查询以节点 $x$ 为根的子树中的所有节点$/$边的权值和或极值。
 

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重链剖分的一些定义

定义 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{e}[\mathrm{x}]$ 为以 $x$ 为根的子树的节点个数。

那么，对于每一个非叶节点，其所有儿子中 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{e}$ 最大的儿子便为重儿子（如果有两个或以上都最大的话，则是其中随意一个），而 $y$ 其它的儿子，都是轻儿子 。

而一个节点连向其重儿子的边被称为重边，树中重边之外的边被称为轻边。多条重边相连为一条重链。

放张图理解一下

图中灰心点为重儿子，白心点为轻儿子。加粗边为重边。
图中重链有 $5$ 条：$1—3—7—13—16—18，12—15，10—14，2—5，4—8$。

性质
1. 若 $x$ 为轻儿子，则有 $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{e}[\mathrm{x}]$ $<=$ $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{e}[\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}[\mathrm{x}]]}{2}$。
2. 从根到某一点的路径上不超过 ${\log }_2\mathrm{n}$ 条重链，不超过 ${\log }_2\mathrm{n}$ 条轻链。（最重要的性质）
 

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重链剖分的实现

预处理

定义 $\mathrm{h}\mathrm{s}\mathrm{o}{\mathrm{n}}_{\mathrm{i}}$ 表示节点 $i$ 的重儿子编号，$\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{z}}_{\mathrm{i}}$ 表示以节点 $i$ 为根的子树的节点个数，$\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$ 表示节点 $i$ 的深度，$\mathrm{f}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}$ 表示节点 $i$ 的父亲节点，$\mathrm{t}\mathrm{o}{\mathrm{p}}_{\mathrm{x}}$ 表示节点 $i$ 位于的重链上的顶端节点标号，$\mathrm{d}\mathrm{f}{\mathrm{n}}_{\mathrm{i}}$ 表示 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 进入节点 $i$ 的时间戳，$\mathrm{t}\mathrm{t}{\mathrm{r}}_{\mathrm{i}}$ 为 $i$ 在 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序里在树上对应的节点编号。

第一个 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 先求出每个节点的 $\mathrm{f}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}$ 、$\mathrm{h}\mathrm{s}\mathrm{o}{\mathrm{n}}_{\mathrm{i}}$ 、$\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{z}}_{\mathrm{i}}$ 、和 $\mathrm{d}\mathrm{e}{\mathrm{p}}_{\mathrm{i}}$。
第二个 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 以优先走重边为原则，遍历出 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序，同时求出每个节点的 $\mathrm{t}\mathrm{o}{\mathrm{p}}_{\mathrm{x}}$ 、$\mathrm{d}\mathrm{f}{\mathrm{n}}_{\mathrm{i}}$ 和 $\mathrm{t}\mathrm{t}{\mathrm{r}}_{\mathrm{i}}$。

比较重要的两点：
1. 优先走重边——每一条重链的新编号是连续的。
2. $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序 ——同一棵子树所对应的一定是dfs序中连续的一段。

还是那张图

$\mathrm{P}\mathrm{S}:$ 红字表示点的 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序。$\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序为：$1,3,7,13,16,18,17,12,15,6,10,14,2,5,4,8,9$。

维护以及在线操作

修改操作

1. 对于修改节点 $x$ 到节点 $y$ 的最短路径上的所有节点$/$边的权值，可以像求 $\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{A}$一样边跳便更改权值。
2. 至于修改以节点 $x$ 为根的子树中的所有节点$/$边的权值，只需要修改 $\mathrm{d}\mathrm{f}{\mathrm{n}}_{\mathrm{x}}$ 到 $\mathrm{d}\mathrm{f}{\mathrm{n}}_{\mathrm{x}}+\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{z}}_{\mathrm{x}}-1$ 。

查询操作

与修改操作类似，只是把修改变为查询。

时间复杂度？

用线段树来维护树链剖分的时间复杂度是 $\mathrm{O}(n+q{\log }_2^{2}n)$ 。
为什么是 $\mathrm{O}({\log }_2^{2}n)$？
由于求 $\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{A}$ 为 $\mathrm{O}({\log }_{2}n)$ ，而在进行操作时使用数据结构又是 $\mathrm{O}({\log }_{2}n)$ ，所以每次操作的时间复杂度就为 $\mathrm{O}(n+q{\log }_2^{2}n)$ 了。