数论概论读书笔记 32.佩尔方程

佩尔方程

$Pell$方程是指具有形式$x^2-Dy^2=1$的方程，其中$D$是一个固定的正整数且不是完全平方数

假设可求得$Pell$方程的一个解$x_1,y_1$，则可以利用上一章中对$D=2$所描述的同样方法来产生一个新的解。将已知解因式分解为

$$1=x_1^2-Dy_1^2=(x_1+y_1\sqrt{D})(x_1-y_1\sqrt{D})$$
两边同时平方便得到一个新的解
$$1=1^2=(x_1+y_1\sqrt{D})^2(x_1-y_1\sqrt{D})^2\\ =(x_1^2+y_1^2D)^2-(2x_1y_1)^2D$$
也就是说，$(x_1^2+y_1^2D,2x_1y_1)$是一个新解。取3次幂、4次幂，等等，可以找到所需的任意多个解。

Pell方程定理 设$D$是一个正整数，且不是完全平方数，则佩尔方程

$$x^2-Dy^2=1$$
总有正整数解。如果$(x_1,y_1)$是使$x_1$最小的解，则每个解$(x_k,y_k)$可通过取幂得到：

$$x_k+y_k\sqrt{D}=(x_1+y_1\sqrt{D})^k ,\quad k=1,2,3,...$$
证明 关于定理的证明，在后面章节。

注意，一些方程的最小解会很大。

关于何时最小解大，何时小，还没有已知的模式。