数论概论读书笔记 31.再论三角平方数

再论三角平方数

定理 （三角平方数定理）

• 方程$x^2-2y^2=1$的每个正整数解都可通过将$3+2\sqrt{2}$自乘得到，即解$(x_k,y_k)$可以通过展开下式得到。

$$x_k+y_k\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^k,\quad k=1,2,3,...$$

• 每个三角平方数$n^2=\frac{1}{2}m(m+1)$由

$$m=\frac{x_k-1}{2},n=\frac{y_k}{2},\quad k=1,2,3,...$$

给出，其中$(x_k,y_k)$是由(1)得到的解

证明 降阶法，具体见书

将上面(1)式中的$\sqrt{2}$换成$-\sqrt{2}$后公式仍然成立。也就是说

$$x_k-y_k\sqrt{2}=(3-2\sqrt{2})^k,\quad k=1,2,3,...$$
若将（1）和（3）相加后除2，则得到关于$x_k$的公式：
$$x_k=\frac{(3+2\sqrt{2})^k+(3-2\sqrt{2})^k}{2}$$
同理，
$$y_k=\frac{(3+2\sqrt{2})^k-(3-2\sqrt{2})^k}{2\sqrt{2}}$$
这些关于$x_k,y_k$的公式是很有用的，因为
$$3+2\sqrt{2}\approx 5.82843 \quad,3-2\sqrt{2}\approx 0.17157$$
由于是$0.17..$ ，所以取$k$次幂很接近0

这样可以较容易的算出$x_k,y_k$

由上面讨论知，三角平方数有无数多个