数论概论读书笔记 17.计算模m的k次根

计算模m的k次根

快速幂可以在log时间内求得一个数模m的k次幂

那么反过来呢? 即计算模m的k次根

$$x^k\equiv b \ mod \ m$$
已知$k,b,m$，计算$x$的值。

如果我们枚举$x$的值，当m很大时，会耗费很长时间。

那么如何快速求解呢？

比如现在要求解同余式

$$x^{131}\equiv 758(mod \ 1073)$$
先求出$\varphi(1073)=1008$， 构造一个不定方程$131x-1008y=1$

求解最小的正整数$x$，得$x=731$，即$131*731=1008*y+1$

将(2)式两边做731幂得，$x*x^{1008y}=(x^{131})^{731} \equiv758^{731} (mod \ 1073)$

而$x^{1008y}\equiv 1 \ (mod \ 1073)$ 这里x与1073要互质，即x,b与m要互质。

所以$x\equiv 758^{731} \ (mod \ 1073)$

可见欧拉定理在这里的应用很重要。

下面总结一下：

算法17.1 （计算模m的k次根原理） 设b,k,m是已知整数，满足

$$gcd(b,m)=1 \quad 与 \quad gcd(k,\varphi(m))=1$$
求解步骤如下：

• 求解$\varphi(m)$
• 求满足$ku-\varphi(m)v=1$的正整数$u$
• 用快速幂计算$b^u(mod \ m)$ 所得值给出解$x$

此算法的瓶颈在于第一步，即对$m$的质因数分解，复杂度是$O(\sqrt{n})$

当然也有$Pollard\_Rho$质因数分解算法

而大整数难以分解的特性，是许多密码设计的基础。