Codeforces Round #512 Div. 2

本以为E题不可做，结果一看答案代码倒是不难写，思路很巧妙。

A. In Search of an Easy Problem

题意

对于一道题，每个人进行评分，如果认为困难就给$1$分，认为简单就给$0$分。只要有人觉得这道题困难就是难题，问这道题是不是难题。

思路

记录评分1的数量，若大于0则为难题，否则为简单。

B. Vasya and Cornfield

题意

一个平面上有一个矩形和很多个点，矩形的四个顶点为$(0,d),(d,0),(n,n-d),(n-d,n)$，问每一个点是否在矩形外。

思路

矩形的四条边分别为$x+y=d,x+y=n+n-d,y-x=d,y-x=-d$，逐一判断每个点位于每一条边的哪一侧。

C. Vasya and Golden Ticket

题意

有一个数字序列，问能否将其分成两段以上，使得每一段的数字之和相等。数字个数为$n$，不超过$100$。

思路

枚举前$1$个数到前$n-1$个数作为第$1$段，计算数字之和，然后每次扫一遍序列，判断是否刚好能按这个和来分割数字序列。

D. Vasya and Triangle

题意

有三个数$n,m,k$，问能否在一个矩形中构造一个顶点坐标为整数并且面积为$\frac{nm}{k}$的三角形，矩形的顶点为$(0,0),(n,0),(0,m),(n,m)$。

思路

待构造的三角形可以由一个能将其容纳的最小矩形切除若干个直角三角形得到，因此面积必然为$\frac{1}{2}$的倍数。首先化简$\frac{nm}{k}$，若分母大于$2$，则不可能构造出这样的三角形；否则可以按以下方法构造：取三角形的顶点为$(0,0),(x,0),(y,0)$，使得$\frac{xy}{2}=\frac{nm}{k}$。化简分数相当于$n$或$m$与$k$同时约去公约数，因此可以取$n$和$m$约分的结果作为$x$和$y$，若化简后分母为$2$，则直接构造三角形；若化简后分母为$1$，则取$x$或$y$的$2$倍，另一个保持不变，如果超出$n$或$m$，那么无法构造三角形。

E. Vasya and Good Sequences

题意

有一个整数序列，取一段连续的整数，如果对每个整数二进制表示任意调整$0$和$1$的位置之后，可以使得这些整数的异或和为$0$，那么这一段为好段，问这个整数序列有多少好段。整数范围为$[1,10^{18}]$。

思路

由于整数二进制表示$0$和$1$的位置可以任意调整，所以只需要考虑整数中$1$的数量。要使一段为好段，必须满足两个条件：这一段中$1$的总数为偶数；每个整数$1$的数量不能超过这一段中$1$的总数的一半。若满足这两个条件，可以调整使得异或和在每一位上$1$的数量为偶数，得到异或和为$0$。然后因为整数不超过$10^{18}$并且至少为$1$，即二进制表示不超过$64$位并且至少为$1$位，所以只要一段整数的个数超过$64$，每个整数$1$的数量就不可能超过这一段中$1$的总数的一半。因此对于整数个数不超过$64$的段，直接计算$1$的总数以及整数中最大$1$的数量，判断是否满足条件；而对于整数个数超过$64$的段，预处理前缀和判断$1$的总数为偶数的段的数量。具体计算如下：对于$i=1,\dots ,n$，先预处理区间$[1,i]$中$1$的总数$S_{1i}$，然后预处理奇数$S_{1i}$的个数${\sum }_{j=1}^i(S_{1i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$；对于区间$[l,r]$，其中$r=i+64,\dots ,n$，$1$的总数$S_{lr}=S_{1r}-S_{1(l-1)}$，因此当$S_{1(l-1)}$为奇数时，取奇数$S_{1r}$的个数；当$S_{1(l-1)}$为偶数时，取偶数$S_{1r}$的个数。预处理时间复杂度为$O(n)$，处理整数不超过$64$个的段时间复杂度为$O(64n)$，处理整数超过$64$个的段时间复杂度为$O(n)$。