Codeforces Round #511 Div. 2

C题水题没做出来，反而猜对了D题，还好排名变化不大。

A. Little C Loves 3 I

题意

给出一个数$n$，要求取三个不为$3$倍数的数$a,b,c$，满足$a+b+c=n$。

思路

若$n$模$3$得$0$或$1$，则取$a=1,b=1,c=n-2$；否则取$a=1,b=2,c=n-3$。

B. Cover Points

题意

给出一些位于第一象限的点，取三个顶点分别为$(0,0)$、$(0,a)$和$(a,0)$的等腰三角形，求a的最小值使得三角形包含所有点。

思路

等腰三角形的底位于直线$x+y=a$上，若三角形包含所有点，则每一个点$(x_i,y_i)$满足$x_i+y_i\le a$，故a=max{xi+yi}a = max\{ x_i+y_i \}a=max{xi​+yi​}。

C. Enlarge GCD

题意

有$n$个数，移除一些数可以使得所有数的最大公约数变大，问最少需要移除多少个数。

思路

设$f(x)$表示$n$个数中以$x$为公约数的数量，那么只需要找到$x^{\prime }$使得$x^{\prime }>x$并且$f(x^{\prime })<n$，最少需要移除$n-f(x^{\prime })$个数。借鉴线性筛质数的思想，先求出最大公约数，再递增筛选。若$x^{\prime }$未被筛去，则筛去$x^{\prime }$的所有倍数，并计算对应的数量之和$f(x^{\prime })$，否则跳过，最后取$f(x^{\prime })$的最大值。

D. Little C Loves 3 II

题意

有一个$n\times m$的棋盘，每次放置两枚曼哈顿距离为$3$的棋子，问最多可以放置多少枚棋子。

思路

分别取$n$和$m$的较小值$a$和较大值$b$，若$a=1$，则棋盘大小为$1\times b$，每连续$6$格刚好可以放置$3$对棋子，当剩下的格子等于$4$时可以再放置$1$对，等于$5$时可以再放置$2$对；若$a=2$，则棋盘大小为$2\times b$，每连续$4$、$5$或$6$格刚好可以放满棋子，故除了$1$、$2$、$3$、$7$格以外均可以通过组合放满棋子，$1$、$2$格不能放棋子，$3$格只能放$1$对棋子，$7$格只能放$6$对棋子；若$a\ge 3$，则可以尽可能多地放置棋子，当格子总数为偶数时可以放满，为奇数时空$1$格，具体证明如下，$3\times 3$、$3\times 4$、$3\times 5$、$3\times 6$和$4\times 4$、$4\times 5$以及$2\times 4$、$2\times 5$、$2\times 6$的棋盘可以尽可能放置棋子，其余棋盘可以通过组合得到。