Educational Codeforces Round 51 Div. 2

前四题比较水，E题写出来有BUG最后没时间调试了，赛后才AC。

A. Vasya And Password

题意

多组输入，有一个字符串，修改尽可能少的字符使得字符串中包含大写字母，小写字母和数字，保证存在修改后满足要求的字符串。

思路

先扫一遍字符串得到大写字母，小写字母和数字的数量。若均大于$0$，则不修改；若两种字符的数量大于$0$，则取其中一种数量大于$1$的字符，取一位修改为剩下的字符，这里必然会有一种字符的数量大于$1$，否则字符串长度只有$2$，无法修改得到满足要求的字符串；若只有一种字符的数量大于$0$，取两位分别修改为剩下的两种字符。

B. Relatively Prime Pairs

题意

对于从$l$到$r$的连续正整数序列，配对，保证每一对正整数的最大公约数为$1$。

思路

任意相邻两个正整数的最大公约数为$1$，取相邻的正整数配对即可。证明如下，对于正整数$i$和$i+1$，由辗转相除法得$GCD(i+1,i)=GCD(i,1)=1$。

C. Vasya and Multisets

题意

有一个集合，若一个数仅出现了一次，则为好数。要求将这个集合分成两个集合，使得两个集合中好数的数量相等。

思路

若集合中好数的数量为偶数，则平均分配到两个集合，其它数均分配到同一个集合；若集合中好数的数量为奇数，则从其它数中取一个出现次数大于或等于$3$的数，将其中一个与其余分别分配到不同的集合，那么这个数在只有一个被分配到的集合中也是好数，此时可以分配的好数总数量为偶数，平均分配即可；若集合中好数的数量为奇数，并且其它数的出现次数均小于$3$，那么无法满足要求。

D. Bicolorings

题意

对$2\times n$的格子着色，仅能着黑色或白色，问色块数为$k$的着色方案有多少种。色块定义如下，若两个格子颜色相同且相邻，则属于同一色块；若两个格子颜色相同且所属色块相邻，则属于同一色块；否则属于不同色块。

思路

考虑动态规划，记录前$i$列色块数为$j$的着色方案数，并且对于当前列为黑黑，黑白，白黑，白白的着色方案数分别计数，即三维动态规划，
总存储空间为$O(n\times k\times 4)$。先确定$i=1$时各色块数对应的着色方案数，然后对于$i$从$1$到$n-1$，$j$从$1$到$k$，下一列着色方案数加上当前列着色方案数，往后更新着色方案数如下：

(当前列着色，下一列着色)	当前列着色方案数	下一列着色方案数
（黑黑，黑黑）	$dp[i][j][0]$	$dp[i+1][j+0][0]$
（黑黑，黑白）	$dp[i][j][0]$	$dp[i+1][j+1][1]$
（黑黑，白黑）	$dp[i][j][0]$	$dp[i+1][j+1][2]$
（黑黑，白白）	$dp[i][j][0]$	$dp[i+1][j+1][3]$
（黑白，黑黑）	$dp[i][j][1]$	$dp[i+1][j+0][0]$
（黑白，黑白）	$dp[i][j][1]$	$dp[i+1][j+0][1]$
（黑白，白黑）	$dp[i][j][1]$	$dp[i+1][j+2][2]$
（黑白，白白）	$dp[i][j][1]$	$dp[i+1][j+0][3]$
（白黑，黑黑）	$dp[i][j][2]$	$dp[i+1][j+0][0]$
（白黑，黑白）	$dp[i][j][2]$	$dp[i+1][j+2][1]$
（白黑，白黑）	$dp[i][j][2]$	$dp[i+1][j+0][2]$
（白黑，白白）	$dp[i][j][2]$	$dp[i+1][j+0][3]$
（白白，黑黑）	$dp[i][j][3]$	$dp[i+1][j+1][0]$
（白白，黑白）	$dp[i][j][3]$	$dp[i+1][j+1][1]$
（白白，白黑）	$dp[i][j][3]$	$dp[i+1][j+1][2]$
（白白，白白）	$dp[i][j][3]$	$dp[i+1][j+0][3]$

E. Vasya and Big Integers

题意

将一个数划分成一组数，划分后的数按顺序连接得到原来的数，要求这组数中的每个数都没有前导零，并且在$[l,r]$之间，问划分方案有多少种。

思路

考虑动态规划，对于前$i$个数和前$j$个数的划分方案，若$i<j$并且从第$i+1$位到第$j$位组成的数满足条件，则前$i$个数的每一个划分方案分别连接新的数均可以得到一种前$j$个数的划分方案，因此$dp[j]=\sum dp[i]$。对于所有满足条件的$i$可以根据需要连接的数分成三类，若需要连接的数的位数与$l$的位数相等，则需要与$l$比较判断是否满足要求；若需要连接的数的位数与$r$的位数相等，则需要与$r$比较判断是否满足要求；若需要连接的数的位数比$l$的位数多，比$r$的位数少，则必然满足要求，并且可以用前缀和优化。需要注意的是，计算前缀和时，记录空串方案数为$1$，并且跳过所有连接前导零的划分方案。