P1865 A % B Problem - 欧拉筛 - 前缀和

注意筛法的MAXN和MAXNUM之间有差别

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 1000000 + 100;
const int MAXNUM = MAXN - 10;
int pri[MAXN],tot,sum[MAXN],vis[MAXN],n,m;
void prime() {
    vis[1] = 1;
    for(int i=2; i<=MAXNUM; i++) {
        if(!vis[i]) {
            pri[++tot] = i;
        }
        for(int j=1; j<=tot && i*pri[j] <= MAXNUM; j++) {
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if(i % pri[j] == 0) break;
        }
    }
    for(int i=1; i<=MAXNUM; i++) {
        if(!vis[i]) {
            sum[i] = sum[i-1] + 1;
        } else {
            sum[i] = sum[i-1];
        }
    }
}
int main() {    
    scanf("%d %d", &n, &m);
    prime();
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        int l,r;
        scanf("%d %d", &l, &r);
        if(l <= 0 || r > m) {
            printf("Crossing the line\n");
            continue;
        }
        printf("%d\n", sum[r] - sum[l-1]);
    }
    return 0;
}
### 关于C++ P1865 A%B Problem 使用欧拉的解决方案 #### 问题分析 P1865 A%B Problem 是一个涉及素数选的经典题目,通常可以通过线性时间复杂度的 **欧拉法** 来高效解决。欧拉是一种高效的素数选算法,能够在 $O(n)$ 的时间内找到小于等于某个整数的所有素数。 以下是基于欧拉法实现该问题的具体代码和解释: --- #### 欧拉的核心原理 欧拉通过标记合数的方式排除掉所有非素数的数字,其核心在于利用最小质因数来唯一表示每一个合数。这种方法可以有效避免重复标记,从而达到线性的时间复杂度[^1]。 --- #### 实现代码 以下是一个完整的 C++ 实现代码,用于解决 P1865 A%B Problem 并结合欧拉法完成任务: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int MAX_N = 1e7 + 10; // 定义最大范围 bool is_prime[MAX_N]; // 是否为素数标志数组 int primes[MAX_N], cnt = 0; // 存储素数列表及其数量 // 初始化欧拉 void euler_sieve(int n) { fill(is_prime, is_prime + n + 1, true); is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (is_prime[i]) { primes[cnt++] = i; // 记录当前素数 } for (int j = 0; j < cnt && i * primes[j] <= n; ++j) { is_prime[i * primes[j]] = false; // 标记合数 if (i % primes[j] == 0) break; // 确保每个合数只被它的最小质因子标记一次 } } } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int a, b; cin >> a >> b; // 如果b大于a,则无解 if (b > a || !b) { cout << "-1"; return 0; } // 执行欧拉 euler_sieve(a); vector<int> results; for (int i = 0; i < cnt; ++i) { if (primes[i] % b != 0) continue; // 排除不满足条件的素数 results.push_back(primes[i]); } if (results.empty()) { cout << "-1"; // 若没有符合条件的结果则输出-1 } else { for (auto num : results) { cout << num << ' '; // 输出所有符合条件的素数 } } return 0; } ``` --- #### 代码说明 1. **初始化部分**: - `MAX_N` 设置了数据的最大范围。 - `is_prime[]` 数组用来记录某数值是否为素数。 - `primes[]` 数组存储所有的素数,`cnt` 统计素数的数量。 2. **欧拉逻辑**: - 对于每个数字 $i$,如果它是素数,则将其加入到 `primes[]` 列表中。 - 同时,对于已知的每一对 $(i, prime_j)$,计算它们的乘积并标记为合数。 - 当发现 $i \% prime_j == 0$ 时停止进一步扩展,因为更大的倍数会被后续更小的质因数覆盖。 3. **输入处理与结果过滤**: - 输入 $a$ 和 $b$,判断是否存在合法解。 - 遍历所有素数,保留那些能被 $b$ 整除的部分作为最终答案。 4. **边界情况**: - 如果不存在任何符合条件的素数,则返回 `-1` 表示无解。 --- #### 时间复杂度与空间复杂度 - **时间复杂度**: 欧拉本身是 $O(n)$ 的,因此整体效率非常高。 - **空间复杂度**: 主要由布尔型数组 `is_prime[]` 和素数存储数组决定,约为 $O(n)$。 --- ### 结论 上述代码实现了 P1865 A%B Problem 的需求,并采用了经典的欧拉法优化性能。此方法适用于大规模数据场景下的快速选操作[^1]。 --- 相关问题
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