SCOI2005 互不侵犯 - 状压DP

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动态规划

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状态压缩

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本文深入探讨状态压缩动态规划（状压DP）在解决多维限制问题中的应用，通过具体实例讲解如何划分阶段、确定决策及转移。分享了如何利用位运算优化状态检查，减少内存消耗，并给出了一行国王放置问题的代码实现，最后总结了解题经验和技巧。

考虑如何划分阶段，如何确定决策及转移
阶段就是子问题的规模，对于这道题，可以说“更小的棋盘，更少的king”算是子问题，但是我们难以表示“更小的棋盘”，难道要表示出行列吗？
我们可以灵活变换状态，更小的棋盘，并不代表我非要按相似比缩小棋盘，如果仅仅是“更小”，只要满足更小的要求，完全可以设计一个小的更加特殊的状态：按行来划分阶段，棋盘宽不变，小的仅仅是行，这样也满足“更小”的约定。虽然我没法改变需要更小的规模这个事实，但我可以决定怎么样小的方法
而决策也随着状态发生改变。本来我想一个个下king，但是在这种状态表示下无法表示一个个放king，干脆就一行行放king，而放king要受到上一行的制约，因此设f[i][j][k]为前行放了j个king，第i行放king的状态为k，并预处理出一行中互不侵犯的king的二进制状态
另外检查上下两行是否符合题意时，不必一位一位单独拿出来看看是否冲突，可以直接对在下方的整体二进制状态左移右移，然后判断上下行按位与是否为true

状压DP，适用于解决有多维限制的问题，比如说一个点能不能放在一个位置，取决于和他同行同列或者怎么怎么样，反正不止一重限制，但是同时处理多维限制的方法貌似最好想的就是暴力检验。
先按其中一种限制划分阶段，比如说按行，而另一种限制提前处理好，用暴力的方式处理出一行里满足限制怎么怎么放的情况，然后把行和行按列的限制“拼起来”，就可以转移了。并不是一个个地转移，而是一行行地，并且提前考虑好行内情况。
比较体现这个思想的题：AHOI2009 中国象棋（请注意！！！下一行剧透解法，想体验完整做题感勿看）

中国象棋这道题，提前考虑了行内情况，一行只能放两个炮，那么我就两个炮一起下！（就像这道题一行国王一起放一样）
另外，这题给我的启示：
1.判断一个二进制是否合题意，尽量用位运算，别一个个左移1，然后比一下那种的…比如说要求的二进制不能有两个相邻的 1，那么我们只要把这个二进制左移一下，再和原来的比较就可以了
2.为了减小常数和减少数组中无用的内存，用一个编号代替这个二进制，这就是为什么要预处理
3.方程中明确好二进制和二进制编号的区别，尽量都用一种表示法。。不然出了错很难看出来
4.如果说边界情况不好处理，可以预先处理出第一行
5.方案数如果不让模很有可能是long long 输出一定记得要写%lld
6.如果方程设的是f（i,j,k）那么枚举顺序最好也要这样枚举…当然也要看看是不是要这样枚举
7.二进制枚举到(1<

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
#define debug(x) cerr << #x << "=" << x << endl;
const int MAXN = 1000 + 10;
typedef long long ll;
int n,k,cou[1<<10],g[1<<10],tot,temte[MAXN];
ll ans,f[10][1<<10][100];
void print(int k) {//???,?????
     int temtot = 0;
     for(int i=0; i<n; i++) 
        temte[++temtot] = (k >> i) & 1;
     for(int i=temtot; i>=1; i--) 
        cout <<temte[i];
     cout << endl;
}
void init() {
    for(int i=0; i<(1<<n); i++) {
        if(i&(i>>1)) continue;
        int sum = 0;
        int t = i;
        while(t) {
            sum += t&1;
            t>>=1;
        }
        g[++tot] = i;
        cou[tot] = sum;
    }
}
bool check(int x, int y) {
    if(!(x&y) && !((x<<1) & y) && !((x>>1) & y )) {
        return true;
    }
    return false;
}
int main() {
    cin >> n >> k;
    init();
    for(int i=1; i<=tot; i++) {
        f[1][i][cou[i]] = 1;
    }
    for(int i=2; i<=n; i++) {
            for(int j=1; j<=tot; j++) {
                for(int z=1; z<=tot; z++) {
                    if((g[z]&g[j]) || (g[z]&(g[j]>>1)) || (g[z]&(g[j]<<1))) continue;
                    for(int kk=cou[j]; kk<=k; kk++)
                            f[i][j][kk] += f[i-1][z][kk-cou[j]];

                }
            }

    }
    for(int i=1; i<=tot; i++) {
        ans += f[n][i][k];
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}