POJ2728 Desert King - （0/1）分数规划

最新推荐文章于 2021-04-05 13:16:08 发布

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图论

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二分答案

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本文探讨了一种图论问题，即寻找一种方案使图全连通且所有边的费用与距离比值之和最小。通过二分法解决这一问题，并详细介绍了如何将原问题转化为判断解的存在性问题。

题目求一种方案，使得图全连通并且所有边费用与距离之商最小
$∑i∈ecosti\sum_{i∈e}cost_i$ 除以 $∑i∈edisi\sum_{i∈e}dis_i$ 最小
可以考虑二分求解
可以假设这个值小于等于L时存在一个解，然后检查是否存在这个解，如果不存在说明L取小了
问题是为什么要假设“存在”，事实上如果假设“任意”，那么就要检查每种可能都要小于，就很麻烦，所以把求任意改为求存在是最好的
但是这个解很难找。。。又不能一个个检验，但是除了L以外的数都是输入数据。
对式子进行变形，得：
$L∗∑i∈edisi−∑i∈ecosti>=0L*\sum_{i∈e}dis_i-\sum_{i∈e}cost_i >= 0$
$∑i∈edisi∗L−∑i∈ecosti>=0\sum_{i∈e}dis_i*L-\sum_{i∈e}cost_i >= 0$
分数规划要通过列式子来找到某个关系，最后把存在这个解这个求解问题转化为判定正负问题
对式子要灵活变换把问题转化为求存在问题
比如说把某些问题转化为求负环，若求得负环，则此答案可行，这样一举解决了判断是否存在解的问题形式上就是乘个负号，把式子变为小于等于0
另外说下EPS的作用，因为二分的是实数，而因为精度问题l和r永远不会重合，这时就需要设EPS，当l和r的差小于EPS时认为他们相同，而判断正负的时候不需要，因为这时说明L确实取小了
相应的还有愤怒的小鸟那题，求出的抛物线因为精度打不到目标，但按理来说是该打到的
##注意二分的时候实数二分或许用位运算来代替（l+r）/2不太好。。。毕竟不是整数型
哎，L的上界难以估计，大了就会T，我取到1000卡了过去。。。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
#define debug(x) cerr << #x << "=" << x << endl;
const int MAXN = 1000 + 10;
const double EPS = 1e-6;
const int INF = (1<<30) / 3;
typedef long long ll; 
int n,last[MAXN],tot,fa[MAXN],vis[MAXN];
double ans, esum, l,ttem[MAXN][MAXN],ddis[MAXN][MAXN],d[MAXN],gra[MAXN][MAXN];

struct viii{
    int x,y,z;
}vil[MAXN];

int abab(int x) {
    if(x < 0) return -x;
    return x;
}

void prim() {
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		d[i] = -INF;
	}
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		int x = 0;
		for(int j=1; j<=n; j++) {
			if(!vis[j] && (x == 0 || d[j] > d[x])) x = j;
		}
		vis[x] = 1;
		for(int j=1; j<=n; j++) {
			if(!vis[j]) d[j] = max(d[j], gra[x][j]);
		}
	}
}

int main() {
    while(1) {
	    esum = 0.0;
	    cin >> n; 
	    if(n == 0) break;
	    for(int i=1; i<=n; i++) {
	        cin >> vil[i].x >> vil[i].y >> vil[i].z; 
	    }
	    for(int i=1; i<=n; i++) {
	        for(int j=1; j<=n; j++) {
	            double temp = 0;
	            int sum = 0;
	            int x1 = vil[i].x, y1 = vil[i].y, x2 = vil[j].x, y2 = vil[j].y;
	            sum = (x1-x2) * (x1-x2) + (y1-y2) * (y1-y2);
	            temp = (double)sum;
	            temp = sqrt(temp);
	            int dist = abab(vil[i].z - vil[j].z);
	            ttem[i][j] = ttem[j][i] = dist;
	            ddis[i][j] = ddis[j][i] = temp;
	            esum += temp;
	        }
	    }
	    //double l = 0, r = esum;
	    double l = 0, r = 1000;
	    while(r-l >= EPS) {
	        double mid = (l+r)/2;
	        tot = 0;
	        for(int i=1; i<=n; i++) {
	    		for(int j=1; j<=n; j++) {
	    			if(i != j)
	    				gra[i][j] = gra[j][i] = ddis[i][j] * mid - ttem[i][j];
	    		}
	    	}
	        double mst = 0.0;
	        prim();
	        for(int i=2; i<=n; i++) {
	        	mst += d[i];
	        }
	        if(mst >= 0) {
	            r = mid;
	            ans = mid;
	        } else {
	            l = mid;
	        }
	    }
	    printf("%.3lf\n", ans);
    }
    return 0;
}