傅立叶外推算法的python实现和缺点

本文介绍了傅立叶外推算法在信号处理中的应用,通过Python代码展示了如何实现该算法来预测信号走势。然而,这种方法的一个主要缺点是,要求已知信号为cos函数的整数倍,否则可能引入干扰。

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在信号处理中有时会希望预测信号的走势,可以预测信号走势的算法有插值法外推,回归算法。
我们可以对已知信号进行傅立叶变换,得到信号的频谱,再进行反变换并扩展时间轴就是傅立叶外推算法,以下为python代码的实现:


#!/usr/bin/python3

import numpy as np
import pylab as pl
from scipy import signal
from numpy import fft

def fourierExtrapolation(x, n_predict):
    n = len(x)
    n_harm = 50                        # number of harmonics in model
    t = np.arange(
### 关于区域外推算法实现 对于区域外推问题,不同的应用场景有不同的解决方案。这里主要讨论两种常见的外推方法及其对应的代码示例。 #### 理查德森外推法用于常微分方程边界值问题 理查德森外推法是一种提升数值解精度的技术,尤其适用于解决两点狄利克雷边值问题。该方法通过对不同步长下的近似解进行组合,以获得更高阶的逼近效果[^1]。下面是一个简单的Python实现: ```python import numpy as np def richardson_extrapolation(f, a, b, y_a, y_b, h_initial=0.1, tolerance=1e-6): """ 使用理查德森外推法求解二阶线性ODE的Dirichlet BVP. 参数: f : function - ODE的形式为y'' = f(x,y). a, b : float - 边界点位置. y_a, y_b : float - 已知边界条件. h_initial : float - 初始网格间距. tolerance : float - 收敛公差. 返回: xs : array-like - 自变量序列. ys : array-like - 解向量. """ def solve_with_fixed_step(h): n = int((b-a)/h)+1 x = np.linspace(a, b, num=n) y = np.zeros_like(x) # 初始化端点处的值 y[0], y[-1] = y_a, y_b # 这里省略具体的离散化过程... return x, y # 开始迭代改进直到满足给定误差限为止 while True: x_coarse, y_coarse = solve_with_fixed_step(h_initial) x_fine, y_fine = solve_with_fixed_step(h_initial / 2.) error_estimate = max(abs(y_fine[::2]-y_coarse)) if error_estimate < tolerance: break h_initial /= 2. return x_fine, y_fine ``` 此段代码展示了如何利用理查德森外推法逐步减小步长直至达到所需的精度水平。 #### 内联全息图外推算法 另一种类型的区域外推涉及光学领域中的内联全息图重建。这类问题通常采用傅立叶变换其他信号处理技巧来完成未知部分的数据推测[^2]。以下是MATLAB版本的一个简化版例子: ```matlab function hologram_reconstructed = inline_holography_extrapolate(hologram_known, extrapolation_factor) %INLINE_HOLOGRAPHY_EXTRAPOLATE 对输入的一维或二维内联全息图执行外推操作。 % % 输入参数: % hologram_known :已知区域内记录下来的原始全息数据; % extrapolation_factor :指定要扩增的比例因子; if ndims(hologram_known)==1 % 处理一维情况 N = length(hologram_known); M = round(N * (extrapolation_factor + 1)); H_fft = fftshift(fft(ifftshift(hologram_known))); padded_H_fft = zeros(M, 1); padded_H_fft(round(end/4):round(end*3/4)) = H_fft; hologram_reconstructed = real(ifft(ifftshift(padded_H_fft))); elseif ndims(hologram_known)==2 % 处理二维情况 [Ny,Nx]=size(hologram_known); My = round(Ny*(extrapolation_factor+1));Mx = round(Nx*(extrapolation_factor+1)); H_fft = fftshift(fftn(ifftshift(hologram_known))); padded_H_fft=zeros(My,Mx); padded_H_fft(round(My/4):round(My*3/4),round(Mx/4):round(Mx*3/4))=H_fft; hologram_reconstructed = abs(ifftn(ifftshift(padded_H_fft))); end ``` 上述代码片段实现了基于频域填充的方法来进行全息图的空间范围扩展。
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