主动变换和被动变换

Introduction

在解析几何中，三维欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中的空间变换可以分为主动变换（active or alibi transformations）和被动变换（passive or alias transformation）。

主动变换真实地改变了一个点或刚体的物理位置，因此在没有坐标系的情况下也可以定义该变换。被动变换描述的是一个点或刚体在两个不同坐标系中坐标的变化，其物理位置实际上并没有发生改变，只是描述其位置的坐标系改变了。提到变换（transformation）时，数学家通常是指主动变换，而物理学家和工程师可能指的是主动变换，也可能指的是被动变换。两种变换都可以通过平移和线性变换的组合来表示。

在主动变换中（左），一个点从位置 P 移动到位置 P’，这是通过绕坐标系的原点顺时针旋转 $\theta$ 角度实现的。在被动变换中（右），点 P 并没有移动，而是坐标系绕其原点逆时针旋转 $\theta$ 角度。主动变换中 P’ 的位置与被动变换中点 P 在旋转后的坐标系中的位置是相同的。

Example

举一个例子，令 $v=(v_1,v_2)\in {\mathbb{R}}^2$ 为平面中的一个向量。将该向量逆时针旋转一个角度 $\theta$ 所对应的旋转矩阵为：
$$R=\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& -sin(\theta )\\ sin(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]$$
将 R 左乘向量 v 时为主动变换，将 $R^{-1}$ 左乘向量 v 时为被动变换。

Summarize

主动变换描述的是同一个（或多个）物体在同一坐标系下的变换。被动变换描述的是同一物体在两个不同坐标系下的变换。