UVA11014 - Make a Crystal

最新推荐文章于 2019-02-15 15:13:58 发布

原创最新推荐文章于 2019-02-15 15:13:58 发布 · 235 阅读

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博客介绍了如何解决UVA11014问题，利用对称性简化问题。点的总数分为三类：位于第一卦限的点、位于两坐标轴形成的区域的点以及坐标轴上的点。通过数论公式计算各类点的数量，并将结果汇总，最后乘以相应的系数加入答案，得出总点数。

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链接

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1955

题解

为了方便叙述，我下面的 $n$ 都是原题中的 $N\over 2$
每个卦限内情况是一样的，借助对称性可以简化问题
假设 $x > 1, y > 1, z > 1$ ，那么相当于每个点都落在第一卦限中
这样的点的数目是
$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n[(i,j,k)=1] \\=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\sum_{d|(i,j,k)}\mu(d)\\ =\sum_{d=1}^n\mu(d){\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}^3$
这个数目直接乘以 $8$ 加到答案里即可
落在某两个坐标轴所成区域的(即xyz有一个坐标为 $0$ )，推出来是 $\sum_{d=1}^n\mu(d){\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}^2$
这种应该乘以 $12$ 加进答案
最后，落在坐标轴上的有 $6$ 个点
上述全部相加，然后输出即可

代码

//推式子
#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 100010
#define ll long long
using namespace std;
ll mu[maxn], mark[maxn], prime[maxn], N;
ll read(ll x=0)
{
	char c, f=1;
	for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;
	return f*x;
}
void init()
{
	ll i, j;
	mu[1]=1;
	for(i=2;i<maxn;i++)
	{
		if(!mark[i])prime[++*prime]=i, mu[i]=-1;
		for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<maxn;j++)
		{
			mark[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
void work()
{
	ll i, ans=0, t;
	for(i=1,N>>=1;i<=N;i++)
	{
		t=N/i;
		ans+=mu[i]*t*t*t*8+mu[i]*t*t*12;
	}
	ans+=6;
	printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
	ll kase=0;
	init();
	while(N=read())printf("Crystal %lld: ",++kase), work();
	return 0;
}