Codeforces Round #492 (Div. 2)E. Leaving the Bar

链接

http://codeforces.com/contest/996/problem/E

题目大意

给你$n$个向量，长度都小于$10^6$，让你确定每个向量的符号，使得他们最后加起来长度小于$1.5\times 10^6$

算法雏形

网上都是什么随机化+贪心，太玄学了，虽然也不错，但我还是喜欢非玄学算法。
三个向量分成一组，每个向量取正负就能变成两个向量；六个向量中选出两个向量，最小夹角满足$\theta\in[0,60^\circ]$，假设拥有最小夹角的两个向量为$\vec x,\vec y$，那么$|\vec x|,|\vec y|\le10^6$，

$$|\vec x-\vec y|=\sqrt {|\vec x|^2+|\vec y|^2-2|\vec x||\vec y|cos\theta}$$ ，
$$cos\theta\in[\frac{1}{2},1]$$
$$-2|\vec x||\vec y|cos\theta\in[-2|\vec x||\vec y|,-|\vec x||\vec y|]$$
$$|\vec x-\vec y|\in\left[\sqrt{|\vec x|^2+|\vec y|^2-2|\vec x||\vec y|},\sqrt{|\vec x|^2+|\vec y|^2-|\vec x||\vec y|}\ \right ]$$
把这个东西看作以 $b$为自变量的二次函数，求个导或者直接用判别式加韦达定理，可以证明这个东西不大于$10^6$(除以 $|\vec x||\vec y|$再乘以 $|\vec x||\vec y|$)
那就很显然啦，不停的选择前三个向量进行合并，最后剩下两个的时候，两个向量的长度肯定都不小于 $10^6$，同样每个向量拆成正负两个，得到夹角 $\alpha\in[0,90^\circ]$，再用同样的方法推导出，最后向量的模的最大值为 $\sqrt 2\times 10^6<1.5\times 10^6$
现在最棘手的问题就在于，如何记录向量的正负？

并查集思想

并查集是树这一点很显然
每次合并两个对象，我就让其中一个对象成为另一个对象的父亲，同时在父亲节点记录最新的向量。
每次给向量乘以$-1$或者$1$，实则是给这个集合中每个元素乘以$1$或$-1$，我只需要在父亲节点打一个标记，这个标记不需要下放，只需要在最后我要计算答案的时候，对于每个节点都沿着父亲一路扫上去，所有标记的乘积就是这个点最终个的符号。(记忆化以做到$O(n)$)

时间复杂度

$O(n)$

补充

启发式合并也可以，时间复杂度$O(n\log n)$

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
#define maxn 100010
#define lim (1e6+1e-8)
using namespace std;
struct vec
{
    int num;
    double x, y;
    double mod(){return sqrt(x*x+y*y);}
    vec operator+(vec v){return (vec){0,x+v.x,y+v.y};}
    vec operator*(int t){return (vec){0,t*x,t*y};}
}v[maxn];
int n, f[maxn], c[maxn], C, tag[maxn];
queue<vec> q;
inline void link(int ca, vec &a, int cb, vec &b)
{
    f[b.num]=a.num;
    tag[a.num]*=ca;
    tag[b.num]*=cb*tag[a.num];
    q.push((vec){a.num,ca*a.x+cb*b.x,ca*a.y+cb*b.y});
}
void init()
{
    int i, j;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        v[i].num=i;
        tag[i]=1;
        f[i]=i;
        scanf("%lf%lf",&v[i].x,&v[i].y);
        q.push(v[i]);
    }
}
void work()
{
    vec v1, v2, v3;
    int c1, c2, c3, flag;
    while(q.size()>2)
    {
        v1=q.front(), q.pop();
        v2=q.front(), q.pop();
        v3=q.front(), q.pop();
        flag=1;
        for(c1=-1;c1<=1 and flag;c1+=2)
            for(c2=-1;c2<=1 and flag;c2+=2)
                for(c3=-1;c3<=1 and flag;c3+=2)
                {
                    if((v1*c1+v2*c2).mod()<lim)link(c1,v1,c2,v2), q.push(v3), flag=0;
                    else if((v1*c1+v3*c3).mod()<lim)link(c1,v1,c3,v3), q.push(v2), flag=0;
                    else if((v2*c2+v3*c3).mod()<lim)link(c2,v2,c3,v3), q.push(v1), flag=0;
                }
    }
    v1=q.front(), q.pop();
    v2=q.front(), q.pop();
    if((v1+v2).mod()<(v1+v2*(-1)).mod())link(1,v1,1,v2);
    else link(1,v1,-1,v2);
}
int calc(int x)
{
    if(c[x])return c[x];
    if(x==f[x])c[x]=tag[x];
    else c[x]=tag[x]*calc(f[x]);
    return c[x];
}
int main()
{
    init();
    if(n==1)
    {
        printf("1");
        return 0;
    }
    work();
    for(int i=1;i<=n;i++)if(!c[i])calc(i);
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",c[i]);
    return 0;
}