初识导函数——研究圆面积与周长的关系

背景

　　人教版选修$2-2$，$page10$，有一个“探索与研究”，上面说让我写篇小论文….我一想我不是有博客嘛…发篇博客得了。

导数

　　导数就是导函数。
　　函数$f(x)$在区间$[x,x+\Delta x]$的平均变化率被描述为$\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
　　函数$f(x)$在$x_0$点的瞬时变化率趋近于常数（其实就是函数图像在该点的切线的斜率），记作

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=l$$
　　$l$就是$f(x)$在$x_0$点的瞬时变化率。
　　把函数的瞬时变化率和其横坐标建立一个函数，得到的新函数就叫做原来的函数的导函数，即导数。

正文

　　我们要研究圆的面积与圆的周长的关系，首先要写出式子。
　　

$$l=2\pi r\\S=\pi r^2$$
　　那么
　　 $$S=\frac{l^2}{4\pi}$$
　　令$f(l)=\frac{l^2}{4\pi}$
　　那么 $$f'(l)=\lim_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{f(l+\Delta l)-f(l)}{\Delta l}\\ 　　=\lim_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta l}{4\pi}+\frac{l}{2\pi}\\ 　　=\frac{l}{2\pi}$$
　　由此看出圆的面积与周长是二次的关系(废话)，当$l$增加相同的大小时，$l$越大，增量就越大。