bzoj2339: [HNOI2011]卡农

最新推荐文章于 2019-09-16 21:46:14 发布

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本文探讨了一道关于从特定范围内选取不同二进制数，使这些数异或结果为0的问题。采用动态规划方法求解，并通过排列组合去除重复计数。代码实现包括初始化及动态规划两个阶段。

链接

　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2339

题解

　　是道好题，真心舒爽。
　　把它转化一下稍微好想一些，就是说你要从 $[1,2^n-1]$ 这么多二进制数里选择不同的 $m$ 个，使得他们异或等于0。
　　好，设计状态，f[i]表示从这么多二进制数里选了i个使得异或等于0的方案数。
　　首先题目要求不考虑顺序，这个很烦，但是你知道一共就选择 $m$ 个，所以我们可以先算考虑顺序的，最后除以 $m!$
　　那么考虑计算f[i]，首先只要前 $i-1$ 个元素已经选好了，这个就被确定了，所以答案先加上 $A_{2^n-1}^{i-1}$ ，现在减去那些不合法的方案，如果当前这个数等于0的话是不合法的，对应的就是前面的异或值等于0；再就是当前的数和前面的某一个数重了。这个算起来有些不好想，先枚举和哪个数重了，一共(i-1)个，再排好剩下的那i-2个，即f[i-2]，再枚举这个重了的数字是几，显然共有 $2^n-1-(i-2)$ 种。因此这类方案数等于 $(i-1)*f[i-2]*(2^n-1-(i-2))$ 。
　　令 $tot=2^n-1$ ，则最终的递推式
　　

f [i] = A i - 1 t o t - f [i - 1] - f [i - 2] * (i - 1) * (t o t - i + 2)

$f[i]=A_{tot}^{i-1}-f[i-1]-f[i-2]*(i-1)*(tot-i+2)$
　　

a n s = f [ M ] M !

$ans=\frac{f[M]}{M!}$
　　我自己肯定想不出来…

代码

//排列组合、动态规划
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define mod 100000007
#define maxn 1000010
using namespace std;
ll a[maxn], f[maxn], N, M, tot, inv;
ll pow(ll a, ll b)
{
    ll t, ans;
    for(t=a,ans=1;b;b>>=1,t=t*t%mod)if(b&1)ans=ans*t%mod;
    return ans;
}
void init()
{
    ll i;
    scanf("%lld%lld",&N,&M);
    tot=pow(2,N)-1;
    a[1]=tot;
    for(i=2;i<=M;i++)a[i]=a[i-1]*(tot-i+1)%mod;
    for(i=1,inv=1;i<=M;i++)inv=inv*i%mod;
    inv=pow(inv,mod-2)%mod;
}
void dp()
{
    for(ll i=3;i<=M;i++)f[i]=(a[i-1]-f[i-1]-f[i-2]*(tot-i+2)%mod*(i-1)%mod)%mod;
}
int main()
{
    init();
    dp();
    printf("%lld",(f[M]+mod)%mod*inv%mod);
    return 0;
}