luogu2151 [SDOI2009]HH去散步

最新推荐文章于 2020-11-30 20:40:05 发布

*ACoder*

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分类专栏： # 一般动态规划

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本文介绍了一种使用动态规划与矩阵乘法解决洛谷2151题的方法。首先通过动态规划求解基础情况，再利用矩阵乘法优化时间复杂度，最终达到100%正确率。

链接

　　https://www.luogu.org/problem/show?pid=2151

题解

　对于30%：

　　可以令f[i][j][k]表示走了i步到达j这个点，前驱边是k的方案数。

　　那么转移f[i][j][k]->f[i+1][从i能到达的点][这条边不是k的反向边]。

　　复杂度O(tNM^2)。

　对于100%：

　　看到这种转移的形式很容易想到用矩阵乘法加速，那么t这一维就可以变成log(t)，但是状态数仍然是NM，也就是说矩阵的大小是N*M，那么做一次矩阵乘法就是(NM)^3，显然太大。

　　但是知道了边就等于知道了这是哪个点，因此N可以被去掉，矩阵大小变成M*M，这样的话复杂度变成了O(M^3*log(t))，可以。　

代码

//动态规划+矩阵乘法 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define mod 45989
#define maxn 25
#define maxm 65
#define maxt 250
using namespace std;
int head[maxm<<1], to[maxm<<1], next[maxm<<1], tot=1, N, M, T, A, B, f[2][maxm<<1],
	trans[maxm<<1][maxm<<1];
void adde(int a, int b){to[++tot]=b;next[tot]=head[a];head[a]=tot;}
void cpy(int a[][maxm<<1], int b[][maxm<<1])
{
	int i, j;
	a[0][0]=b[0][0], a[0][1]=b[0][1];
	for(i=1;i<=a[0][0];i++)for(j=1;j<=a[0][1];j++)a[i][j]=b[i][j];
}
void mult(int a[][maxm<<1], int b[][maxm<<1], int c[][maxm<<1])
{
	int x=a[0][1], i, j, k, t[maxm<<1][maxm<<1]={0};
	t[0][0]=a[0][0], t[0][1]=b[0][1];
	for(i=1;i<=t[0][0];i++)for(j=1;j<=t[0][1];j++)for(k=1;k<=x;k++)
		t[i][j]=(t[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%mod;
	cpy(c,t);
}
void pow(int a[][maxm<<1], int b, int c[][maxm<<1])
{
	int ans[maxm<<1][maxm<<1], t[maxm<<1][maxm<<1];
	ans[0][0]=a[0][0], ans[0][1]=a[0][1];
	for(int i=1;i<=ans[0][0];i++)ans[i][i]=1;
	for(cpy(t,a);b;b>>=1,mult(t,t,t))if(b&1)mult(ans,t,ans);
	cpy(c,ans);
}
void init()
{
	int u, v, i, p;
	scanf("%d%d%d%d%d",&N,&M,&T,&A,&B);
	for(i=1;i<=M;i++)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
		adde(u,v),adde(v,u);
	}
	f[0][0]=1,f[0][1]=tot;
	for(p=head[A];p;p=next[p])f[1][p]=1;
	trans[0][0]=trans[0][1]=tot;
	for(i=2;i<=tot;i++)
		for(p=head[to[i]];p;p=next[p])if(p!=(i xor 1))trans[i][p]=1;
}
int main()
{
	int ans=0, i;
	init();
	pow(trans,T-1,trans);
	mult(f,trans,f);
	for(i=2;i<=tot;i++)if(to[i]==B)ans=(ans+f[1][i])%mod;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}