数学学习笔记

洛谷博客

### 计数原理

$C^n_m=A^n_m/m!$=n!/(m!)*(n-m)!

[卢卡斯定理](https://baike.baidu.com/item/lucas/4326261)

### 乘法逆元

若a与x在模p意义下互为乘法逆元。记为a=inv[x],a的-1次方=x;

若出现 (a/b)%p,不能等价于 (a%p)/(b%p),可以用a乘b的逆元inv[b], a* inv[b]%p;

 求单个整数的逆元
1:拓展欧几里得 ax+py=1

2:有限情况下使用费马小定理

注：

乘法逆元不一定存在

乘法逆元若存在，那么有无数个但在模p意义下只有一个

##### 费马小定理
若p是质数，且gcd（a，p）==1，a的p-1次方在模p意义下与1同余。

a的乘法逆元=a的p-2次方（%p）（若乘法逆元存在）

------------
求1到n的所有整数的逆元（若存在）

         a*x与1关于模p意义下同余

设 p=a*q+r, 其中 q=p/a , r=p%a

则p=a*q+r在模p意义下与0同余

两边同-r，再同乘q的逆元

a在模p意义下与-r*inv[q]同余

(两边同取逆元）

inv[a]=-q*inv[p%a]（mod p);

inv[a]=-p/a*inv[p%a] (mod p)

dp求前n个数的逆元(存在）

inv[1]=1
for(int i=2;i<=n;i++){
    inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}

------------

欧拉函数

欧拉函数：定义φ(n) 表示不超过n的数中与n互质的正整数的个数

φ(1) =1

欧拉函数的常用性质：

1.若p是质数，则φ($p^n$)= $p^{n-1}$(p-1)

2.若a|x,则φ(ax)=a*φ(x)

3.若a,b互质,则φ(a)*φ(b)=φ(ab)

求欧拉函数
1. 求单个数的欧拉函数 O(log(n))
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int phi(int n){
    int res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0) 
            res=res/i*(i-1);
        while(n%i==0)
            n/=i;            
   }
   if(n>1) res=res/n*(n-1);
   return res;
}
int main(){
    cout<<phi(114514);
    return 0;
}
```
2.用线性筛求1-n以内的所有数的欧拉函数 O(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool vis[114514];
int cnt,q[114514],phi[114514];
void o(int n){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            q[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++){
            if(q[j]*i>n)
                break;
            vis[q[j]*i]=1;
            if(i%q[j]==0){
                phi[q[j]*i]=phi[i]*q[j];
                break;
            }else{
                phi[q[j]*i]=(q[j]-1)*phi[i];
            }
        }
    }
}
int main(){
    o(20);
    for(int i=1;i<=20;i++){
        cout<<phi[i]<<' ';
    }
    return 0;
}

------------

欧拉定理

设a,m是正整数,且gcd(a,m)=1,那么$a^{φ(m)}$=1(mod m)

拓展欧拉定理
若b>=φ(m),则a^b=a^{b\mod\varphi m+\varphi m} (mod m)

当gcd(a,m)=1,a^b=a^{b\mod\varphi m} (mod m)