动态规划:击鼓传花

问题描述

学校联欢晚会的时候,为了使每一个同学都能参与进来,主持人常常会带着同学们玩击鼓传花的游戏。游戏规则是这样的:n个同学坐着围成一个圆圈,指定一个同学手里拿着一束花,主持人在旁边背对着大家开始击鼓,鼓声开始之后拿着花的同学开始传花,每个同学都可以把花传给自己左右的两个同学中的一个(左右任意),当主持人停止击鼓时,传花停止,此时,正拿着花没传出去的那个同学就要给大家表演一个节目。

聪明的小赛提出一个有趣的问题:有多少种不同的方法可以使得从小赛手里开始传的花,传了m次以后,又回到小赛手里。对于传递的方法当且仅当这两种方法中,接到花的同学按接球顺序组成的序列是不同的,才视作两种传花的方法不同。比如有3个同学1号、2号、3号,并假设小赛为1号,花传了3次回到小赛手里的方式有1->2->3->1和1->3->2->1,共2种。

简化描述

n个同学围成一圈,把花从一个人开始传m次又回到那个人手里。且每个人传花只能传给相邻的那个人。有多少种不同的传法。
给n个人编号分别为1,2 … n , 且花一开始在编号为1的同学手里。那么问题就是从1号开始传递m次又回到1号,一共有多少种传递方式。

解决思路

用f(i, j)表示从1号开始传到i号人,传j次,一共有多少种方法。那么f(i, j)可以递归的定义为

f(i,j)=
### 使用动态规划解决击鼓问题 击鼓问题是经典的约瑟夫斯问题的一个变种。虽然统上这个问题可以通过队列来模拟,但也可以采用动态规划的方法求解最终获胜者的编号。 #### 动态规划的核心思路 定义 `f(n, m)` 表示当有 n 个人参与游戏,并按照每轮递 m 时最后一个剩下人的位置,则状态转移方程可以表示为: \[ f(n,m)=(f(n−1,m)+m)\%n \] 其中初始条件设为 \( f(1,m)=0 \),即只有一个人的情况下,此人必定是赢家[^1]。 此公式的意义在于,在一轮游戏中被移除的人之后的位置会成为下一轮新的起始点;因此对于每一局新开始的状态而言,相当于前一局面基础上顺延了 m 步后的模数取余结果作为当前幸存者的新索引值。 下面是基于上述理论编写的 Python 实现代码: ```python def josephus_dp(n, m): # 初始化dp数组用于存储子问题的结果 dp = [0] * (n + 1) for i in range(2, n + 1): dp[i] = (dp[i - 1] + m) % i return dp[n] if __name__ == "__main__": number_of_people = int(input("请输入人数: ")) step_count = int(input("请输入步长: ")) winner_position = josephus_dp(number_of_people, step_count) print(f"胜利者的原始位置是从0计数的{winner_position}") ``` 这段程序实现了利用动态规划计算击鼓游戏中最后存活下来玩家所在的位置的功能。注意这里的输入参数`number_of_people`代表总共有多少名参与者而`step_count`则指定了每经过几个人手后停止并淘汰持者[^3]。
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