【noip2014】解方程（模意义下的哈希）

最新推荐文章于 2023-03-23 23:20:41 发布

Etta19

最新推荐文章于 2023-03-23 23:20:41 发布

阅读量572

点赞数

分类专栏：数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Etta19/article/details/78045858

版权

数学专栏收录该内容

3 篇文章

订阅专栏

本文介绍了2014年NOIP比赛中的一个解方程问题，要求找到方程a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n = 0在[1, m]区间内的整数解，其中系数|ai| <= 10^1000，n <= 100，m <= 10^6。通过采用模意义下的哈希方法，即选取多个质数p，检查x是否满足f(x) % p == 0，来提高找到正确解的概率。此外，还讨论了如何优化输入和计算过程，以处理大范围的系数。" 51571188,5665602,购物车项目：实现CartServlet,"['servlet', '购物车']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

noip 2014 Day2 T3 解方程

UOJ解方程

题意

求方程 $a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+......a_n*x^n=0$ 在 $[1,m]$ 内的整数解。 $|a_i|<=10^{10000}$ , $n<=100,m<=1000000$

I think

    对于 $f(x) = a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+......a_n*x^n=0$ ,若f(x) = 0, 则f(x)%p = 0. 反之则不一定，但是若多取几个质数p，正确的几率就比较大。于是取若干p，若x对于任意p均满足f(x)%p == 0,则x为可行解。
    若f(x) % p = 0,则f(x+p) = 0. 于是对于质数pi仅判断小于pi的数x是否为可行解，等价于判断模pi等于x的所有数是否为可行解。
     $a_i$ 范围较大，而加法与乘法是不影响取模的，于是用字符串输入 $a_i$ ,将其转化为10进制数时边转边模。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int sm = 100 + 5;
const int sn = 1e6 + 5;
const int p[6] = {0,9769,8719,8269,7717,7583};

int n,m;
char str[10010];
int a[6][sm],pre[sm],ans[sn];
bool ret[6][10010];

bool Calc(int k) {
    int res = 0;
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
        res = (res + a[k][i]*pre[i])%p[k]; 
    if(res<0) res+=p[k];
    return res;
}

bool Judge(int x) {
    for(int k = 1;k <= 5; ++k)
        if(ret[k][x%p[k]]) return false;
    return true;
}

int main() {

    int len;
    bool flag;

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i = 0; i <= n; ++i) {

        scanf("%s",str+1);

        len = strlen(str+1); 
        flag = 0;

        for(int k = 1; k <= 5; ++k)
            if(str[1] == '-') a[k][i] = 0,flag= 1;
            else a[k][i] = str[1] - '0';

        for(int k = 1; k <= 5; ++k) {
            for(int j = 2; j <= len; ++j) 
                a[k][i] = (a[k][i]*10 + str[j] -'0')%p[k];
            if(flag) a[k][i] *= -1;
        }
    }

    for(int k = 1; k <= 5; ++k)
        for(int i = 1; i < p[k]; ++i) {
            pre[0] = 1;
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
                pre[j] = pre[j-1]*i%p[k];
            ret[k][i] = Calc(k);
        }

    for(int i = 1; i <= m; ++i)
        if(Judge(i)) ans[++ans[0]] = i;

    printf("%d\n",ans[0]);
    for(int i = 1; i <= ans[0]; ++i)
        printf("%d\n",ans[i]);

    return 0;
}