`class
SparseTable` 是一个用于实现 **ST表（
Sparse Table）** 的 C++ 类。ST 表是一种高效的数据结构，用于解决静态数组上的区间最值查询问题（如区间最大值或最小值）。它的核心思想是通过预处理将所有可能的区间最值存储在一张表中，从而实现 O(1) 的查询复杂度。
以下是 `class
SparseTable` 的完整实现：
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
class
SparseTable {
private:
vector<vector<int>> st; // 存储区间最值
vector<int> log_
table; // 预计算log2表
public:
// 构造函数：初始化ST表
SparseTable(const vector<int>& arr, bool is_min = false) {
int n = arr.size();
if (n == 0) return;
// 预计算log2表
log_
table.resize(n + 1);
log_
table[1] = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
log_
table[i] = log_
table[i / 2] + 1;
}
// 初始化st表
int max_log = log_
table[n];
st.assign(max_log + 1, vector<int>(n));
st[0] = arr;
// 动态规划构建st表
for (int k = 1; k <= max_log; ++k) {
for (int i = 0; i + (1 << k) <= n; ++i) {
if (!is_min) {
st[k][i] = max(st[k
- 1][i], st[k
- 1][i + (1 << (k
- 1))]);
} else {
st[k][i] = min(st[k
- 1][i], st[k
- 1][i + (1 << (k
- 1))]);
}
}
}
}
// 查询闭区间[l, r]的最大值或最小值
int query(int l, int r, bool is_min = false) {
if (l > r || l < 0 || r >= st[0].size()) {
throw out_of_range("Invalid query range");
}
int k = log_
table[r
- l + 1];
if (!is_min) {
return max(st[k][l], st[k][r
- (1 << k) + 1]);
} else {
return min(st[k][l], st[k][r
- (1 << k) + 1]);
}
}
};
// 使用示例
int main() {
vector<int> arr = {3, 1, 4, 5, 2, 9, 7, 6};
SparseTable st_max(arr); // 默认构造最大值查询
SparseTable st_min(arr, true); // 构造最小值查询
cout << "Max Query [0, 3]: " << st_max.query(0, 3) << endl; // 输出5
cout << "Min Query [4, 6]: " << st_min.query(4, 6, true) << endl; // 输出2
return 0;
}
```
### 解释：
1. **成员变量**：
- `st`：二维向量，存储 ST 表的核心数据。`st[k][i]` 表示从索引 `i` 开始，长度为 \(2^k\) 的区间的最值。
- `log_
table`：辅助数组，用来存储每个数的以 2 为底的对数值。例如，`log_
table[8] = 3`，因为 \(2^3 = 8\)。
2. **构造函数**：
- 接收一个数组 `arr` 和一个布尔值 `is_min`，表示是否构造最小值查询（默认为最大值查询）。
- 预计算 `log_
table`，用于快速找到覆盖区间所需的 \(k\) 值。
- 动态规划构建 `st` 表：
\[
st[k][i] =
\begin{cases}
\max(st[k
-1][i], st[k
-1][i + 2^{k
-1}]) & \text{if not is_min} \\
\min(st[k
-1][i], st[k
-1][i + 2^{k
-1}]) & \text{if is_min}
\end{cases}
\]
3. **查询函数**：
- 对于区间 \([l, r]\)，我们找到一个合适的 \(k\)，使得 \(2^k\) 尽量接近但不超过 \(r
-l+1\)。
- 然后用两个长度为 \(2^k\) 的区间覆盖目标区间，并取两者最大值或最小值。
### 复杂度分析：
- **预处理时间**：O(n log n)
- **查询时间**：O(1)
- **空间复杂度**：O(n log n)
### 应用场景：
- ST 表适用于静态数组的多次区间最值查询。
- 如果需要动态更新数组元素，则需要使用其他数据结构（如线段树或树状数组）。
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