LightOJ 1236 Pairs Forming LCM(唯一分解定理+素数筛)

最新推荐文章于 2020-09-22 10:49:00 发布

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本文深入探讨了求解特定整数下所有可能的最小公倍数(LCM)配对问题，利用质因数分解原理，阐述了一种高效算法。通过分析质因数的最大和最小指数，提出了一种计算配对数量的方法，并附带了C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Pairs Forming LCM

题解：考虑唯一分解定理： ${p_1}^{n_1}\cdot {p_2}^{n_2}...{p_k}^{n_k}$ ， ${p_1}^{m_1}\cdot {p_2}^{m_2}...{p_k}^{m_k}$
${lcm(a,b)=p1max(n1,m1)⋅p2max(n2,m2)...pkmax(nk,mk)gcd(a,b)=p1min(n1,m1)⋅p2min(n2,m2)...pkmin(nk,mk)\begin{cases}lcm(a,b) = {p_1}^{max(n_1,m_1)}\cdot {p_2}^{max(n_2,m_2)}...{p_k}^{max(n_k,m_k)}\\\\gcd(a,b) = {p_1}^{min(n_1,m_1)}\cdot {p_2}^{min(n_2,m_2)}...{p_k}^{min(n_k,m_k)}\end{cases}$
所以我们考虑将 $n$ 质因子分解 ${p_1}^{e_1}\cdot {p_2}^{e_2}...{p_k}^{e_k}$ ，有 $e_i = max(n_i,m_i)$ 。

对于 ${p_1}^{n_1}\cdot {p_2}^{n_2}...{p_k}^{n_k}$ 时和 ${p_1}^{m_1}\cdot {p_2}^{m_2}...{p_k}^{m_k}$ 时的每一个质因子的指数我们都有 $max(n_i,m_i) + 1$ 种取法，再除去 $x\cdot p^m$ 和 $x\cdot p^n$ 的情况，因此总共就是 $2(e_i+1) - 1$ 种，然后又根据乘法原理有 $∏(2⋅ei+1)\prod{(2\cdot e_i+1)}$ ，最后除去 $i > j$ 和加上指数相等的情况，就有 $\frac{\prod{2\cdot e_i + 1}}{2} + 1$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N = 1E7+10, M = N / log(N) + N/10;
int prime[M], k;
bool vis[N];
void init()
{
	for(int i = 2; i < N; ++i) {
		if(vis[i] == 0)
			prime[k++] = i;
		for(int j = 2; j * i < N; ++j) {
			if(vis[i * j] == 0) 
				vis[i * j] = 1;
		}
	}
}

LL solve(LL n)
{
	LL t = n, ans = 1;
	for(int i = 0; i < k && prime[i] <= sqrt(t); ++i) {
		int cnt = 0;
		while(n % prime[i] == 0) {
			cnt++;
			n /= prime[i];
		}
		ans *= (2 * cnt + 1);
	}
	if(n > 1) ans *= (2 * 1 + 1);
	return ans / 2 + 1;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.in","r",stdin);
#endif
	init();
	int T, t = 1;
	cin >> T;
	while(T--) {
		LL n;
		cin >> n;
		LL ans = solve(n);
		cout << "Case "<< t++ << ": " << ans << endl;
	}
    return 0;
}